É verdadeiro ou falso?
Para todo
temos
.
Para todo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão pergunta se, para todo número
que satisfaça
, as seguintes igualdades são verdadeiras:
Isso envolve conceitos de séries infinitas e séries geométricas. Vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como ela se relaciona com essas igualdades para verificar se elas são verdadeiras ou falsas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre séries geométricas. Uma série geométrica é uma soma infinita que tem a forma:
onde
é o primeiro termo e
é a razão comum entre os termos.
A série geométrica converge (ou seja, soma a um valor finito) se e somente se o valor absoluto da razão
for menor que 1 (
). Nesse caso, a soma da série é dada por:
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira igualdade:
Aqui, podemos ver que
e
. Como
, a condição para a convergência da série geométrica é satisfeita. Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
Isso confirma que a primeira igualdade é verdadeira.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda igualdade:
Podemos reescrever o denominador como
, então temos:
Aqui,
e
. Novamente, a condição para a convergência da série geométrica é
, que é satisfeita. Aplicando a fórmula da soma:
Portanto, a segunda igualdade também é verdadeira.
Resposta
Verdadeiro.
Exercícios relacionados
A região entre as curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante:
; em torno do eixo y
(d) Em quais pontos
existe apenas o limite à direita
?
(f)
.
Calcule: