É verdadeiro ou falso?
Para todo |x|<1 temos 11-x=sumn=0^+infty x^n, 11+x=sumn=0^+infty(-1)^n x^n.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão pergunta se, para todo número 11 - x = sumn=0^+infty x^n, 11 + x = sumn=0^+infty (-1)^n x^n que satisfaça , as seguintes igualdades são verdadeiras:
Isso envolve conceitos de séries infinitas e séries geométricas. Vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como ela se relaciona com essas igualdades para verificar se elas são verdadeiras ou falsas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre séries geométricas. Uma série geométrica é uma soma infinita que tem a forma:
sumn=0^+infty ar^n
onde sumn=0^+infty ar^n = a1 - r é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos.
A série geométrica converge (ou seja, soma a um valor finito) se e somente se o valor absoluto da razão for menor que 1 ( ). Nesse caso, a soma da série é dada por:

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira igualdade:
11 - x = sumn=0^+infty x^n
Aqui, podemos ver que sumn=0^+infty x^n = 11 - x e . Como , a condição para a convergência da série geométrica é satisfeita. Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
Isso confirma que a primeira igualdade é verdadeira.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda igualdade:
11 + x = sumn=0^+infty (-1)^n x^n
Podemos reescrever o denominador como 11 + x = 11 - (-x) , então temos:
sumn=0^+infty (-1)^n x^n = 11 - (-x) = 11 + x
Aqui, e . Novamente, a condição para a convergência da série geométrica é , que é satisfeita. Aplicando a fórmula da soma:
Portanto, a segunda igualdade também é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro.

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