Calcule integral0^pi sen^2 t2 cos ^5 t2 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de de até . Isso envolve funções trigonométricas e integração, então vamos usar técnicas de substituição e propriedades das potências de senos e cossenos para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Note que temos potências de seno e cosseno da mesma expressão . Uma boa estratégia aqui é usar a substituição.
Vamos fazer . Assim, precisamos encontrar em termos de .

Passo 3

Calculando a derivada de u = sin(t2) Rightarrow dudt = 12 cos(t2) em relação a du = 12 cos(t2) dt Rightarrow dt = 2 , ducos(t2) :
Então,

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral em termos de integral sin^2(t2) cos^5(t2) dt = integral u^2 cos^5(t2) cdot 2 , ducos(t2) . Substituindo 2 integral u^2 cos^4(t2) du e na integral original:
Simplificando as potências de cosseno:

Passo 5

Sabemos que 2 integral u^2 (1 - u^2)^2 du , então .
Substituindo na integral:

Passo 6

Vamos expandir (1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4 :
2 integral u^2 (1 - 2u^2 + u^4) du = 2 integral (u^2 - 2u^4 + u^6) du
Então a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
2 ( u^33 - 2 cdot u^55 + u^77 ) + C
Simplificando:
2u^33 - 4u^55 + 2u^77 + C

Passo 8

Como estamos calculando uma integral definida de u = sin(pi2) = 1 a u = sin(0) = 0 , precisamos avaliar a expressão antiderivada nos limites. Lembrando que :
  • Para :
  • Para :

Passo 9

Substituindo os limites na antiderivada:
[ 2(1)^33 - 4(1)^55 + 2(1)^77 ] - [ 2(0)^33 - 4(0)^55 + 2(0)^77 ]
Simplificando:
23 - 45 + 27 - 0 = 23 - 45 + 27

Passo 10

Agora, vamos calcular essa expressão. Primeiro, encontramos um denominador comum, que é 23 = 70105, 45 = 84105, 27 = 30105 :
70105 - 84105 + 30105 = 70 - 84 + 30105 = 16105
Então:

Resposta

A integral vale .

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