Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de
de
até
. Isso envolve funções trigonométricas e integração, então vamos usar técnicas de substituição e propriedades das potências de senos e cossenos para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Note que temos potências de seno e cosseno da mesma expressão
. Uma boa estratégia aqui é usar a substituição.
Vamos fazer
. Assim, precisamos encontrar
em termos de
.
Passo 3
Calculando a derivada de
em relação a
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral em termos de
. Substituindo
e
na integral original:
Simplificando as potências de cosseno:
Passo 5
Sabemos que
, então
.
Substituindo na integral:
Passo 6
Vamos expandir
:
Então a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Simplificando:
Passo 8
Como estamos calculando uma integral definida de
a
, precisamos avaliar a expressão antiderivada nos limites. Lembrando que
:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Substituindo os limites na antiderivada:
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos calcular essa expressão. Primeiro, encontramos um denominador comum, que é
:
Então:
Resposta
A integral vale
.
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se:
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se:
;
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