Calcule: integral x^4+2 x+1x^3-x^2-2 x d x

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício que é calcular a integral:
integral x^4+2 x+1x^3-x^2-2 x , dx
Esse problema envolve o conteúdo de cálculo de integrais racionais, onde o grau do polinômio no numerador é maior ou igual ao do denominador. Para resolver, vamos precisar fazer uma divisão de polinômios e utilizar a fração parcial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar os graus dos polinômios. No numerador, o grau é 4 ( ) e no denominador é 3 ( ). Como o grau do numerador é maior, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos dividir por .
  1. Divisão:
  2. Multiplicação:
  3. Subtração:

Passo 4

Como o resultado da subtração ( x^4+2 x+1x^3-x^2-2 x = x + 1 + 3x^2 + 4x + 1x^3-x^2-2x ) ainda tem grau menor que o denominador, paramos a divisão. Assim, podemos reescrever a fração original como:

Passo 5

Agora, a integral fica dividida em três partes:
integral x , dx + integral 1 , dx + integral 3x^2 + 4x + 1x^3-x^2-2x , dx
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 6

As duas primeiras integrais são simples:
Agora, precisamos resolver a terceira integral: .

Passo 7

Primeiro, vamos fatorar o denominador:
x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2) = x(x - 2)(x + 1)
Agora, vamos decompor a fração em frações parciais.

Passo 8

Assumimos que:
3x^2 + 4x + 1x(x - 2)(x + 1) = Ax + Bx - 2 + Cx + 1
Multiplicando ambos os lados por 3x^2 + 4x + 1 = A(x - 2)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 2) :

Passo 9

Para encontrar os valores de 1 = A(-2)(1) implies A = -12 , 21 = B times 2 times 3 implies B = 72 e 0 = C(-1)(-3) implies C = 0 , substituímos valores que simplificam a equação:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 10

Substituindo os valores de 3x^2 + 4x + 1x(x - 2)(x + 1) = -12x + 72(x - 2) , e na decomposição:

Passo 11

Agora, podemos integrar cada fração separadamente:
integral (-12x + 72(x - 2)) dx = -12 ln|x| + 72 ln|x - 2| + C

Resposta

A integral é igual a:
12x^2 + x - 12 ln|x| + 72 ln|x - 2| + C

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