Calcule:
Passo 1
Então, vamos resolver o exercício que é calcular a integral:
Esse problema envolve o conteúdo de cálculo de integrais racionais, onde o grau do polinômio no numerador é maior ou igual ao do denominador. Para resolver, vamos precisar fazer uma divisão de polinômios e utilizar a fração parcial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar os graus dos polinômios. No numerador, o grau é 4 (
) e no denominador é 3 (
). Como o grau do numerador é maior, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos dividir
por
.
- Divisão:
- Multiplicação:
- Subtração:
Passo 4
Como o resultado da subtração (
) ainda tem grau menor que o denominador, paramos a divisão. Assim, podemos reescrever a fração original como:
Passo 5
Agora, a integral fica dividida em três partes:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 6
As duas primeiras integrais são simples:
Agora, precisamos resolver a terceira integral:
.
Passo 7
Primeiro, vamos fatorar o denominador:
Agora, vamos decompor a fração em frações parciais.
Passo 8
Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Para encontrar os valores de
,
e
, substituímos valores que simplificam a equação:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 10
Substituindo os valores de
,
e
na decomposição:
Passo 11
Agora, podemos integrar cada fração separadamente:
Resposta
A integral é igual a:
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É verdadeiro ou falso?
Se está definido e converge para
, então
para
.
Se
(f)
Encontre a série de Maclaurin de
usando as séries conhecidas.
;
A região entre as curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante:
; em torno do eixo y