Encontre a série de Maclaurin de f(x) usando as séries conhecidas.
f(x) = x^2 * ln(1 + x^3);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin da função . Isso está dentro do conteúdo de séries de potências, especificamente usando séries que já conhecemos para montar a série desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma série de potências que expande uma função em torno de . Para muitas funções, podemos expressar a série de Maclaurin usando séries que já conhecemos, como a da função logarítmica.

Passo 3

A gente sabe que a série de Maclaurin para é:
Aqui, é uma substituição que a gente vai fazer para adaptar essa série à nossa função .

Passo 4

No nosso caso, a função dentro do logaritmo é . Então, vamos fazer . Substituindo na série de Maclaurin que a gente lembra:

Passo 5

Agora, nossa função é multiplicado por . Então, vamos multiplicar a série que encontramos por :

Passo 6

Podemos simplificar o expoente de somando os termos:
Então, a série fica:

Resposta

A série de Maclaurin de é:

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