Encontre a série de Maclaurin de
usando as séries conhecidas.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin da função
. Isso está dentro do conteúdo de séries de potências, especificamente usando séries que já conhecemos para montar a série desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma série de potências que expande uma função em torno de
. Para muitas funções, podemos expressar a série de Maclaurin usando séries que já conhecemos, como a da função logarítmica.
Passo 3
A gente sabe que a série de Maclaurin para
é:
Aqui,
é uma substituição que a gente vai fazer para adaptar essa série à nossa função
.
Passo 4
No nosso caso, a função dentro do logaritmo é
. Então, vamos fazer
. Substituindo na série de Maclaurin que a gente lembra:
Passo 5
Agora, nossa função
é
multiplicado por
. Então, vamos multiplicar a série que encontramos por
:
Passo 6
Podemos simplificar o expoente de
somando os termos:
Então, a série fica:
Resposta
A série de Maclaurin de
é:
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Calcule:
É verdadeiro ou falso?
Se está definido e converge para
, então
para
.
Se
A região entre as curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante:
; em torno do eixo y
Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos:
Dica: use as identidades