A região entre as curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante:
; em torno do eixo y
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que surge quando a região entre as curvas
e
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos cilindros, que é uma técnica bem legal em cálculo para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso é importante porque esses pontos vão definir os limites da nossa integração. Então, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Então, a região que vamos girar está entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método dos cilindros. Esse método é ótimo quando estamos girando a região em torno do eixo
. A fórmula geral para o volume
usando cilindros é:
Aqui,
é a função que define a curva superior (no nosso caso,
), e
e
são os limites de integração, que já encontramos como 2 e 4.
Passo 4
Vamos montar a integral com as informações que temos:
Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral passo a passo. Integrando cada termo separadamente:
Como estamos calculando um volume definido, não precisamos do termo da constante
. Então, avaliamos a antiderivada nos limites de 2 a 4:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Substituindo esses valores na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Encontre a série de Maclaurin de
usando as séries conhecidas.
;
Calcule:
Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos:
Dica: use as identidades
(h)
.