A região entre as curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante: y = -x^2 + 6x - 8, y = 0; em torno do eixo y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que surge quando a região entre as curvas e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos cilindros, que é uma técnica bem legal em cálculo para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso é importante porque esses pontos vão definir os limites da nossa integração. Então, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Então, a região que vamos girar está entre e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos cilindros. Esse método é ótimo quando estamos girando a região em torno do eixo . A fórmula geral para o volume usando cilindros é:
Aqui, é a função que define a curva superior (no nosso caso, ), e e são os limites de integração, que já encontramos como 2 e 4.

Passo 4

Vamos montar a integral com as informações que temos:
Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral passo a passo. Integrando cada termo separadamente:
Como estamos calculando um volume definido, não precisamos do termo da constante . Então, avaliamos a antiderivada nos limites de 2 a 4:
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Substituindo esses valores na expressão do volume:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Encontre a série de Maclaurin de f(x) usando as séries conhecidas.
f(x) = x^2 * ln(1 + x^3);
Calcule: integral x^4+2 x+1x^3-x^2-2 x d x
Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos:
integral-pi^pi sin (m x) cos (n x) d x=0
Dica: use as identidades
sin a cos b & =12[sin (a+b)+sin (a-b)] cos a cos b & =12[cos (a+b)+cos (a-b)] sin a sin b & =12[cos (a-b)-cos (a+b)]
(h) lim n +infty(1+1n)^n+3.