Calcule a integral utilizando a técnica de integração por partes.
Calcule e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes. A matéria que estamos lidando aqui é cálculo integral, e a integração por partes é uma técnica muito útil quando a integral é o produto de duas funções. Para isso, vamos precisar escolher quais partes da função vão ser e , e então aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher o que será nosso e o que será nosso . Uma boa dica é escolher como a parte que simplifica quando derivada, e como a parte que não complica muito quando integrada. No nosso caso, vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos calcular e .
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Com , , e definidos, vamos aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

A integral resultante ainda está um pouco complicada: . Vamos precisar aplicar integração por partes novamente nessa nova integral. Desta vez, escolhemos:

Passo 6

Calculando e para essa nova escolha:
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:

Passo 8

Voltando à nossa expressão original:

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine um fator integrante e resolva. , sen ;
Seja Calcule, caso exista, .
Verifique que se e são soluções de , então também é solução, para quaisquer .
Resolva a integral utilizando integração por partes.
Substitua e na fórmula de integração por partes.