Calcule a integral integral x^2 cos x d x utilizando a técnica de integração por partes.
Calcule d u e v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes. A matéria que estamos lidando aqui é cálculo integral, e a integração por partes é uma técnica muito útil quando a integral é o produto de duas funções. Para isso, vamos precisar escolher quais partes da função vão ser e , e então aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher o que será nosso u = x^2 e dv = cos x , dx e o que será nosso . Uma boa dica é escolher como a parte que simplifica quando derivada, e como a parte que não complica muito quando integrada. No nosso caso, vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx (x^2) , dx = 2x , dx e v = integral cos x , dx = sin x .
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Com integral u , dv = uv - integral v , du , integral x^2 cos x , dx = x^2 sin x - integral sin x cdot 2x , dx , e definidos, vamos aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

A integral resultante ainda está um pouco complicada: u = 2x e dv = sin x , dx . Vamos precisar aplicar integração por partes novamente nessa nova integral. Desta vez, escolhemos:

Passo 6

Calculando du = ddx (2x) , dx = 2 , dx e v = integral sin x , dx = -cos x para essa nova escolha:
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral 2x sin x , dx = 2x (-cos x) - integral (-cos x) cdot 2 , dx
= -2x cos x + 2 integral cos x , dx
= -2x cos x + 2 sin x

Passo 8

Voltando à nossa expressão original:
integral x^2 cos x , dx = x^2 sin x - (-2x cos x + 2 sin x)
= x^2 sin x + 2x cos x - 2 sin x + C

Resposta

A integral x^2 sin x + 2x cos x - 2 sin x + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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