Calcule a integral
utilizando a técnica de integração por partes.
Calcule
e
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando a técnica de integração por partes. A matéria que estamos lidando aqui é cálculo integral, e a integração por partes é uma técnica muito útil quando a integral é o produto de duas funções. Para isso, vamos precisar escolher quais partes da função vão ser
e
, e então aplicar a fórmula de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher o que será nosso
e o que será nosso
. Uma boa dica é escolher
como a parte que simplifica quando derivada, e
como a parte que não complica muito quando integrada. No nosso caso, vamos escolher:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
.
- Derivando
:
- Integrando
:
Passo 4
Com
,
,
e
definidos, vamos aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
A integral resultante ainda está um pouco complicada:
. Vamos precisar aplicar integração por partes novamente nessa nova integral. Desta vez, escolhemos:
Passo 6
Calculando
e
para essa nova escolha:
- Derivando
:
- Integrando
:
Passo 7
Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Passo 8
Voltando à nossa expressão original:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine um fator integrante e resolva.
, sen
;
Seja
Calcule, caso exista,
.
Verifique que se
e
são soluções de
, então
também é solução, para quaisquer
.
Resolva a integral
utilizando integração por partes.
Substitua e
na fórmula de integração por partes.
Substitua