Resolva a integral integral x ln x d x utilizando integração por partes.
Substitua u e d v na fórmula de integração por partes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x ln x , dx usando integração por partes. Esse método é parte do cálculo integral e é super útil quando temos produtos de funções. Para isso, vamos precisar identificar duas partes na expressão que vamos chamar de u e dv.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que vai ser u e o que vai ser dv. Uma boa dica para isso é o método LIATE, que prioriza Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Algébrica, Trigonométrica e Exponencial. Aqui, ln x é uma função logarítmica e x é algébrica. Então, vamos definir:
u = ln x dv = x , dx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v. Para isso, derivamos u e integramos dv:
du = 1x , dx v = integral x , dx = x^22

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x ln x , dx = ln x cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx

Passo 5

Simplificamos a integral restante:
integral x^22 cdot 1x , dx = integral x2 , dx = 12 integral x , dx = 12 cdot x^22 = x^24

Passo 6

Substituímos de volta na expressão anterior:
integral x ln x , dx = x^22 ln x - x^24 + C

Resposta

A integral integral x ln x , dx é igual a x^22 ln x - x^24 + C, onde C é a constante de integração.

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