Determine um fator integrante e resolva.
, sen
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. O conteúdo aqui envolve fatores integrantes e equações diferenciais exatas. Vamos precisar identificar um fator que torne essa equação exata para resolver.
Passo 2
Primeiro, lembrando rapidinho: uma equação diferencial
é exata se
. Vamos verificar se a nossa equação já é exata.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Vemos que
, então a equação não é exata.
Passo 4
Precisamos encontrar um fator integrante
que dependa só de
ou só de
. Vamos supor que
depende só de
. Então, multiplicamos a equação por
:
Agora, a equação será exata se:
Passo 5
Calculando as derivadas:
Igualando as duas:
Simplificando:
Passo 6
Agora temos uma equação diferencial para
:
Isso é uma equação separável. Vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Simplificando, temos:
Podemos escolher
, então:
Passo 7
Multiplicando a equação original por
:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.
Passo 8
Vamos encontrar a função potencial
, tal que:
Integrando em relação a
:
Agora, calculamos
:
Igualando com a segunda parte da equação exata:
Então:
Mas isso não depende de
, indicando que há um erro. Voltando, percebemos que a integração deve considerar
como constante.
Vamos refazer:
Passo 9
Integrando corretamente:
Agora, diferenciando em relação a
:
Igualando com
:
Isso implica que
, então
é constante. Podemos ignorar a constante.
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Seja
Calcule, caso exista,
.
Resolva a integral
aplicando integração por partes.
Calcule e
.
Calcule
Calcule a integral
utilizando a técnica de integração por partes.
Calcule e
.
Calcule
Verifique que se
e
são soluções de
, então
também é solução, para quaisquer
.