Determine um fator integrante e resolva. , sen ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial . O conteúdo aqui envolve fatores integrantes e equações diferenciais exatas. Vamos precisar identificar um fator que torne essa equação exata para resolver.

Passo 2

Primeiro, lembrando rapidinho: uma equação diferencial é exata se . Vamos verificar se a nossa equação já é exata.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Vemos que , então a equação não é exata.

Passo 4

Precisamos encontrar um fator integrante que dependa só de ou só de . Vamos supor que depende só de . Então, multiplicamos a equação por :
Agora, a equação será exata se:

Passo 5

Calculando as derivadas:
Igualando as duas:
Simplificando:

Passo 6

Agora temos uma equação diferencial para :
Isso é uma equação separável. Vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Simplificando, temos:
Podemos escolher , então:

Passo 7

Multiplicando a equação original por :
Simplificando:
Agora, a equação é exata.

Passo 8

Vamos encontrar a função potencial , tal que:
Integrando em relação a :
Agora, calculamos :
Igualando com a segunda parte da equação exata:
Então:
Mas isso não depende de , indicando que há um erro. Voltando, percebemos que a integração deve considerar como constante.
Vamos refazer:

Passo 9

Integrando corretamente:
Agora, diferenciando em relação a :
Igualando com :
Isso implica que , então é constante. Podemos ignorar a constante.

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Seja Calcule, caso exista, .
Resolva a integral aplicando integração por partes.
Calcule e .
Calcule a integral utilizando a técnica de integração por partes.
Calcule e .
Verifique que se e são soluções de , então também é solução, para quaisquer .