Seja
Calcule, caso exista,
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de forma diferente quando
é igual a 1 e quando
é diferente de 1. Queremos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1. Para isso, vamos precisar entender sobre limites e como manipular expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, identificamos que para
, a função é
. Simplificar essa expressão pode nos ajudar a calcular o limite. Vamos fatorar o numerador.
Passo 3
O numerador
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora, podemos simplificar a expressão cancelando o termo
no numerador e no denominador:
Isso é válido para
.
Passo 5
Com a função simplificada, podemos calcular o limite quando
se aproxima de 1:
Substituindo
por 1:
Resposta
O limite
existe e é igual a 2.
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.
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, sen
;
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.
Calcule