Calcule a integral .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: .
Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais racionais, onde a gente tem uma fração envolvendo polinômios. Para resolver, vamos precisar usar o método de frações parciais, que ajuda a quebrar essa fração complicada em termos mais simples que a gente consegue integrar mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o método de frações parciais. A ideia é expressar a fração original como a soma de frações mais simples. No nosso caso, queremos encontrar constantes , e tais que:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da igualdade pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 4

Vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 5

Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Agora, somando as equações (1) e (2):
Então, .
Substituindo na equação (1):

Passo 7

Agora que encontramos , e , podemos reescrever a fração original:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 9

Juntando todas as integrais e combinando as constantes, temos:

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Verifique se a integral imprópria converge ou diverge.
Para a função representada graficamente na figura a seguir, determine:
Seja a região limitada(delimitada) pelas curvas e . Faça um esboço da região , expresse a área em termos de uma integral e calcule.
Seja a região compreendida entre as curvas e , com . Expresse o volume do sólido , obtido rotacionando a região em torno do eixo , em termos de uma integral e calcule.