Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais racionais, onde a gente tem uma fração envolvendo polinômios. Para resolver, vamos precisar usar o método de frações parciais, que ajuda a quebrar essa fração complicada em termos mais simples que a gente consegue integrar mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o método de frações parciais. A ideia é expressar a fração original como a soma de frações mais simples. No nosso caso, queremos encontrar constantes , e tais que:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da igualdade pelo denominador comum para eliminar as frações:
Passo 4
Vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: -4(-B) - 3B + C = 1 4B - 3B + C = 1 B + C = 1 (1) .
Substituindo 4(-B) + 2B - C = 0 -4B + 2B - C = 0 -2B - C = 0 (2) na segunda equação:
B + C - 2B - C = 1 + 0 -B = 1 B = -1
Substituindo -1 + C = 1 C = 2 na terceira equação:
Agora, somando as equações (1) e (2):
Então, .
Substituindo na equação (1):
Passo 7
Agora que encontramos x(x-1)(x-2)^2 = 1x-1 + -1x-2 + 2(x-2)^2 , e , podemos reescrever a fração original: