Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais racionais, onde a gente tem uma fração envolvendo polinômios. Para resolver, vamos precisar usar o método de frações parciais, que ajuda a quebrar essa fração complicada em termos mais simples que a gente consegue integrar mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o método de frações parciais. A ideia é expressar a fração original como a soma de frações mais simples. No nosso caso, queremos encontrar constantes , e tais que:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da igualdade pelo denominador comum para eliminar as frações:
Passo 4
Vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Agora, somando as equações (1) e (2):
Então, .
Substituindo na equação (1):
Passo 7
Agora que encontramos , e , podemos reescrever a fração original:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 9
Juntando todas as integrais e combinando as constantes, temos: