Calcule a integral integral x(x-1)(x-2)^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: .
Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais racionais, onde a gente tem uma fração envolvendo polinômios. Para resolver, vamos precisar usar o método de frações parciais, que ajuda a quebrar essa fração complicada em termos mais simples que a gente consegue integrar mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o método de frações parciais. A ideia é expressar a fração original como a soma de frações mais simples. No nosso caso, queremos encontrar constantes x(x-1)(x-2)^2 = Ax-1 + Bx-2 + C(x-2)^2 , e tais que:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da igualdade pelo denominador comum x = A(x-2)^2 + B(x-1)(x-2) + C(x-1) para eliminar as frações:

Passo 4

Vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
x = A(x^2 - 4x + 4) + B(x^2 - 3x + 2) + C(x - 1)
x = A x^2 - 4A x + 4A + B x^2 - 3B x + 2B + C x - C
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
x = (A + B) x^2 + (-4A - 3B + C) x + (4A + 2B - C)

Passo 5

Para que essa igualdade valha para todo A + B = 0 -4A - 3B + C = 1 4A + 2B - C = 0 , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: -4(-B) - 3B + C = 1 4B - 3B + C = 1 B + C = 1 (1) .
Substituindo 4(-B) + 2B - C = 0 -4B + 2B - C = 0 -2B - C = 0 (2) na segunda equação:
B + C - 2B - C = 1 + 0 -B = 1 B = -1
Substituindo -1 + C = 1 C = 2 na terceira equação:
Agora, somando as equações (1) e (2):
Então, .
Substituindo na equação (1):

Passo 7

Agora que encontramos x(x-1)(x-2)^2 = 1x-1 + -1x-2 + 2(x-2)^2 , e , podemos reescrever a fração original:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x-1 dx = ln|x-1| + C1
integral -1x-2 dx = -ln|x-2| + C2
integral 2(x-2)^2 dx = 2 cdot ( -1x-2 ) + C3 = -2x-2 + C3

Passo 9

Juntando todas as integrais e combinando as constantes, temos:
integral x(x-1)(x-2)^2 dx = ln|x-1| - ln|x-2| - 2x-2 + C

Resposta

A integral ln|x-1| - ln|x-2| - 2x-2 + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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