Seja
a região compreendida entre as curvas
e
, com
. Expresse o volume do sólido
, obtido rotacionando a região
em torno do eixo
, em termos de uma integral e calcule.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume de um sólido formado ao girar uma região, chamada
, em torno do eixo
. Essa região está entre as curvas
e
, no intervalo de
de
a
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo integral usada para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando giramos uma região em torno do eixo
, cada fatia vertical da região se transforma em um disco. O volume de cada disco é a área da base (um círculo) vezes a espessura (um pequeno aumento em
, chamado de
). A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui,
é a função superior e
é a função inferior no intervalo considerado.
Passo 3
Vamos identificar qual das duas funções,
ou
, está acima no intervalo de
de
a
. Vamos comparar os valores das duas funções nesse intervalo:
Para
:
Para
:
Vamos testar um ponto intermediário, por exemplo,
:
Aqui,
, então
está acima de
nesse intervalo.
Passo 4
Agora que sabemos qual função é superior, vamos montar a integral para calcular o volume. Usando a fórmula do método dos discos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Primeiro, expandimos
:
E
:
Substituindo na integral:
Simplificando os termos semelhantes:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral completa é:
Passo 7
Vamos avaliar a integral de
a
:
Substituindo
:
Substituindo
:
Portanto, a diferença é
.
Resposta
O volume do sólido
é:
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Seja
a região limitada(delimitada) pelas curvas
e
. Faça um esboço da região
, expresse a área em termos de uma integral e calcule.
Calcule a integral
.
Calcule os limites abaixo: $(a)
pt
Calcule os limites abaixo: $©
pt