Seja R a região compreendida entre as curvas y = x / 2 e y = x - x^2, com x in [0, 1/2]. Expresse o volume do sólido S, obtido rotacionando a região R em torno do eixo x, em termos de uma integral e calcule.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume de um sólido formado ao girar uma região, chamada R, em torno do eixo x. Essa região está entre as curvas e , no intervalo de x de 0 a 1/2. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo integral usada para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando giramos uma região em torno do eixo x, cada fatia vertical da região se transforma em um disco. O volume de cada disco é a área da base (um círculo) vezes a espessura (um pequeno aumento em x, chamado de ). A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui, f(x) é a função superior e g(x) é a função inferior no intervalo considerado.

Passo 3

Vamos identificar qual das duas funções, ou , está acima no intervalo de x de 0 a 1/2. Vamos comparar os valores das duas funções nesse intervalo:
Para x = 0:
Para :
Vamos testar um ponto intermediário, por exemplo, :
Aqui, , então está acima de nesse intervalo.

Passo 4

Agora que sabemos qual função é superior, vamos montar a integral para calcular o volume. Usando a fórmula do método dos discos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Primeiro, expandimos :
E :
Substituindo na integral:
Simplificando os termos semelhantes:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral completa é:

Passo 7

Vamos avaliar a integral de 0 a 1/2:
Substituindo :
Substituindo x = 0:
Portanto, a diferença é .

Resposta

O volume do sólido S é:

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