Seja a região limitada(delimitada) pelas curvas e . Faça um esboço da região , expresse a área em termos de uma integral e calcule.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da região que está delimitada pelas curvas , e pela reta . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais. Primeiro, vamos descobrir onde essas curvas se encontram para saber os limites da nossa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde e se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Resolvendo a equação:
Agora, vamos usar a fórmula de Bhaskara para achar as raízes dessa equação quadrática.

Passo 4

Aplicando Bhaskara:
Aqui, , e . Então:
Então, os pontos de interseção são:

Passo 5

Agora, como estamos considerando como um dos limites, vamos verificar qual desses valores de está no intervalo de até o ponto de interseção positivo, que é .

Passo 6

Agora que sabemos os limites de integração ( até ), vamos expressar a área em termos de uma integral. A área entre duas curvas é a integral da diferença das funções superiores menos as inferiores.
Aqui, está acima de nesse intervalo.
Então, a área é:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
Assim, a integral resolvida é:

Passo 9

Agora, vamos calcular o valor da integral no limite superior e no limite inferior .
Primeiro, no limite superior:
Depois, no limite inferior , tudo será zero.

Passo 10

Após simplificar os cálculos, encontramos que a área é igual a:

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Calcule a integral .
Verifique se a integral imprópria converge ou diverge.
Seja a região compreendida entre as curvas e , com . Expresse o volume do sólido , obtido rotacionando a região em torno do eixo , em termos de uma integral e calcule.
Calcule os limites abaixo: $(a) pt