Seja
a região limitada(delimitada) pelas curvas
e
. Faça um esboço da região
, expresse a área em termos de uma integral e calcule.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da região
que está delimitada pelas curvas
,
e pela reta
. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais. Primeiro, vamos descobrir onde essas curvas se encontram para saber os limites da nossa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde
e
se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação:
Agora, vamos usar a fórmula de Bhaskara para achar as raízes dessa equação quadrática.
Passo 4
Aplicando Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Então:
Então, os pontos de interseção são:
Passo 5
Agora, como estamos considerando
como um dos limites, vamos verificar qual desses valores de
está no intervalo de
até o ponto de interseção positivo, que é
.
Passo 6
Agora que sabemos os limites de integração (
até
), vamos expressar a área
em termos de uma integral. A área entre duas curvas é a integral da diferença das funções superiores menos as inferiores.
Aqui,
está acima de
nesse intervalo.
Então, a área
é:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Assim, a integral resolvida é:
Passo 9
Agora, vamos calcular o valor da integral no limite superior
e no limite inferior
.
Primeiro, no limite superior:
Depois, no limite inferior
, tudo será zero.
Passo 10
Após simplificar os cálculos, encontramos que a área
é igual a:
Resposta
A área da região
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Calcule a integral
.
Verifique se a integral imprópria
converge ou diverge.
Seja
a região compreendida entre as curvas
e
, com
. Expresse o volume do sólido
, obtido rotacionando a região
em torno do eixo
, em termos de uma integral e calcule.
Calcule os limites abaixo: $(a)
pt