Verifique se a integral imprópria converge ou diverge.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado:
"Verifique se a integral imprópria converge ou diverge."
Aqui, estamos lidando com integrais impróprias, que são integrais onde a função se comporta de forma “estranha” em algum ponto do intervalo de integração. No nosso caso, a função tem um comportamento especial em , pois o denominador se aproxima de zero, o que pode causar problemas na integral.
Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com integrais impróprias, especialmente aquelas que envolvem limites onde a função pode não ser definida.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar nosso trabalho. A integral dada é:
Observamos que pode ser reescrita como . Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Seja:
Quando , , e quando , . Substituindo na integral, temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar . A integral de é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é 2.

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Para a função representada graficamente na figura a seguir, determine:
Para a função representada graficamente na figura a seguir, determine:
Calcule a integral .
Seja a região limitada(delimitada) pelas curvas e . Faça um esboço da região , expresse a área em termos de uma integral e calcule.