Verifique se a integral imprópria converge ou diverge.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado:
"Verifique se a integral imprópria converge ou diverge."
Aqui, estamos lidando com integrais impróprias, que são integrais onde a função se comporta de forma “estranha” em algum ponto do intervalo de integração. No nosso caso, a função tem um comportamento especial em , pois o denominador se aproxima de zero, o que pode causar problemas na integral.
Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com integrais impróprias, especialmente aquelas que envolvem limites onde a função pode não ser definida.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar nosso trabalho. A integral dada é:
Observamos que pode ser reescrita como . Assim, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Seja:
Quando , , e quando , . Substituindo na integral, temos:
Passo 4
Agora, vamos integrar . A integral de é dada por:
No nosso caso, , então:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1: