Verifique se a integral imprópria integral3^4 d xraizx-3 converge ou diverge.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado:
"Verifique se a integral imprópria converge ou diverge."
Aqui, estamos lidando com integrais impróprias, que são integrais onde a função se comporta de forma “estranha” em algum ponto do intervalo de integração. No nosso caso, a função tem um comportamento especial em , pois o denominador se aproxima de zero, o que pode causar problemas na integral.
Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com integrais impróprias, especialmente aquelas que envolvem limites onde a função pode não ser definida.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar nosso trabalho. A integral dada é:
integral3^4 dxraizx-3
Observamos que integral3^4 (x-3)^-1/2 dx pode ser reescrita como . Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Seja:
u = x - 3 Rightarrow du = dx
Quando integral0^1 u^-1/2 du , , e quando , . Substituindo na integral, temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral u^n du = u^n+1n+1 + C (para n neq -1) . A integral de integral u^-1/2 du = u^-1/2 + 1-1/2 + 1 + C = u^1/21/2 + C = 2u^1/2 + C é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
2u^1/2 |0^1 = 2(1)^1/2 - 2(0)^1/2 = 2(1) - 2(0) = 2 - 0 = 2

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é 2.

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