Calcule
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de
. Para isso, vamos usar frações parciais, que é uma técnica de álgebra que ajuda a simplificar integrais racionais (ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios).
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Para simplificar, vamos colocar
em evidência:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Então:
Portanto, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora, vamos expressar a fração
em frações parciais. Assumimos que ela pode ser representada da seguinte forma:
Onde
,
,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
,
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador
para eliminar as frações:
Agora, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação para encontrar os coeficientes.
Passo 5
Primeiro, escolhemos
:
Segundo, escolhemos
:
Terceiro, escolhemos
:
Passo 6
Agora, para encontrar
, podemos escolher outro valor de
, por exemplo,
:
Substituindo os valores encontrados de
,
e
:
Vamos resolver para
:
Passo 7
Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a fração parcial completa:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
-
-
(Lembre-se que ) -
-
Passo 9
Juntando todas as integrais e as constantes (
) em uma única constante
, temos: