Calcule integral (5 x+7) d xx^4+2 x^3-3 x^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de 5x + 7x^4 + 2x^3 - 3x^2 , dx. Para isso, vamos usar frações parciais, que é uma técnica de álgebra que ajuda a simplificar integrais racionais (ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios).

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^4 + 2x^3 - 3x^2. Para simplificar, vamos colocar x^2 em evidência:
x^4 + 2x^3 - 3x^2 = x^2(x^2 + 2x - 3)
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático x^2 + 2x - 3. Procuramos dois números que multiplicados dão -3 e somados dão 2. Esses números são 3 e -1. Então:
x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)
Portanto, o denominador fatorado fica:
x^4 + 2x^3 - 3x^2 = x^2 (x + 3)(x - 1)

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração 5x + 7x^2 (x + 3)(x - 1) em frações parciais. Assumimos que ela pode ser representada da seguinte forma:
5x + 7x^2 (x + 3)(x - 1) = Ax + Bx^2 + Cx + 3 + Dx - 1
Onde A, B, C e D são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Para encontrar os valores de A, B, C e D, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador x^2 (x + 3)(x - 1) para eliminar as frações:
5x + 7 = A cdot x(x + 3)(x - 1) + B cdot (x + 3)(x - 1) + C cdot x^2(x - 1) + D cdot x^2(x + 3)
Agora, vamos escolher valores de x que simplifiquem a equação para encontrar os coeficientes.

Passo 5

Primeiro, escolhemos x = 0:
5(0) + 7 = A cdot 0 + B cdot 3 cdot (-1) + C cdot 0 + D cdot 0 7 = -3B B = -73
Segundo, escolhemos x = -3:
5(-3) + 7 = A cdot (-3)(0)(-4) + B cdot 0 cdot (-4) + C cdot 9 cdot (-4) + D cdot 9 cdot 0 -15 + 7 = -36C -8 = -36C C = 29
Terceiro, escolhemos x = 1:
5(1) + 7 = A cdot 1 cdot 4 cdot 0 + B cdot 4 cdot 0 + C cdot 1 cdot 0 + D cdot 1 cdot 4 12 = 4D D = 3

Passo 6

Agora, para encontrar A, podemos escolher outro valor de x, por exemplo, x = 2:
5(2) + 7 = A cdot 2 cdot 5 cdot 1 + B cdot 5 cdot 1 + C cdot 4 cdot 1 + D cdot 4 cdot 5 17 = 10A + 5B + 4C + 20D
Substituindo os valores encontrados de B, C e D:
17 = 10A + 5(-73) + 4(29) + 20(3) 17 = 10A - 353 + 89 + 60
Vamos resolver para A:
17 - 60 + 353 - 89 = 10A -43 + 1059 - 89 = 10A -43 + 979 = 10A -3879 + 979 = 10A -2909 = 10A A = -299

Passo 7

Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a fração parcial completa:
5x + 7x^2 (x + 3)(x - 1) = -299x + -73x^2 + 29x + 3 + 3x - 1
Simplificando:
5x + 7x^2 (x + 3)(x - 1) = -299x - 73x^2 + 29(x + 3) + 3x - 1

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 5x + 7x^4 + 2x^3 - 3x^2 , dx = integral ( -299x - 73x^2 + 29(x + 3) + 3x - 1 ) dx
Integrando termo a termo:
  1. integral -299x , dx = -299 ln|x| + C1
  2. integral -73x^2 , dx = 73x + C2 (Lembre-se que integral x^-2 dx = -x^-1)
  3. integral 29(x + 3) , dx = 29 ln|x + 3| + C3
  4. integral 3x - 1 , dx = 3 ln|x - 1| + C4

Passo 9

Juntando todas as integrais e as constantes ( C1, C2, C3, C4) em uma única constante C, temos:
integral 5x + 7x^4 + 2x^3 - 3x^2 , dx = -299 ln|x| + 73x + 29 ln|x + 3| + 3 ln|x - 1| + C

Resposta

integral 5x + 7x^4 + 2x^3 - 3x^2 , dx = -299 ln|x| + 73x + 29 ln|x + 3| + 3 ln|x - 1| + C

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