Calcule a medida: A diagonal de um retângulo de área
e com suas dimensões na razão de
;
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício que fala sobre encontrar a diagonal de um retângulo. A gente vai trabalhar com conceitos de geometria, especificamente de áreas de retângulos e o Teorema de Pitágoras para descobrir a medida da diagonal. Vamos precisar entender como as dimensões do retângulo estão relacionadas e como usar essas informações para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões do retângulo. O enunciado diz que as dimensões estão na razão de
. Isso significa que uma das dimensões é o dobro da outra. Vamos chamar a dimensão menor de
e a maior de
.
Passo 3
Sabemos também que a área do retângulo é
. A área de um retângulo é calculada multiplicando-se a largura pela altura. Então, temos:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Dividindo ambos os lados da equação por 2:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 5
Agora que sabemos que a dimensão menor é aproximadamente
, a dimensão maior será:
Passo 6
Para encontrar a diagonal do retângulo, usamos o Teorema de Pitágoras, que diz que em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Aplicando isso ao retângulo:
Substituindo os valores:
Então, a diagonal é:
Resposta
A diagonal do retângulo mede aproximadamente
.