Identifique e descreva a superfície do R^3 dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
x = 2 y^2 + 2 z^2.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação no espaço tridimensional, que é . O objetivo é identificar que tipo de superfície essa equação representa e fazer um esboço dela. Para isso, vamos precisar lembrar sobre superfícies quadráticas e como elas são representadas no R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação . Aqui, x está isolado em termos de y e z. Isso indica que podemos pensar em x como uma função de y e z. Em geometria analítica, quando uma variável é expressa como uma soma de quadrados das outras duas, geralmente estamos lidando com um paraboloide.

Passo 3

Um paraboloide é uma superfície quadrática que pode ser elíptico ou hiperbólico. No nosso caso, como os coeficientes de y^2 e z^2 são ambos positivos e iguais, estamos lidando com um paraboloide elíptico. Isso significa que a seção transversal em qualquer plano paralelo ao plano y- z será uma elipse.

Passo 4

Para visualizar melhor, vamos pensar em como a superfície se abre. Como temos x igual a uma soma de termos positivos, o paraboloide está se abrindo na direção positiva do eixo x. Ou seja, à medida que y e z aumentam, x também aumenta.

Passo 5

Agora, para esboçar a superfície, podemos desenhar o eixo x como a direção principal. No ponto onde x = 0, temos e , que é o vértice do paraboloide. À medida que x aumenta, desenhamos elipses maiores em planos paralelos ao plano y- z.

Resposta

A equação representa um paraboloide elíptico que se abre na direção positiva do eixo x. O vértice está na origem, e as seções transversais paralelas ao plano y- z são elipses. O esboço da superfície mostrará elipses de tamanho crescente à medida que nos afastamos do vértice ao longo do eixo x.

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