Identifique e descreva a superfície do
dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação no espaço tridimensional, que é
. O objetivo é identificar que tipo de superfície essa equação representa e fazer um esboço dela. Para isso, vamos precisar lembrar sobre superfícies quadráticas e como elas são representadas no
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação
. Aqui,
está isolado em termos de
e
. Isso indica que podemos pensar em
como uma função de
e
. Em geometria analítica, quando uma variável é expressa como uma soma de quadrados das outras duas, geralmente estamos lidando com um paraboloide.
Passo 3
Um paraboloide é uma superfície quadrática que pode ser elíptico ou hiperbólico. No nosso caso, como os coeficientes de
e
são ambos positivos e iguais, estamos lidando com um paraboloide elíptico. Isso significa que a seção transversal em qualquer plano paralelo ao plano
-
será uma elipse.
Passo 4
Para visualizar melhor, vamos pensar em como a superfície se abre. Como temos
igual a uma soma de termos positivos, o paraboloide está se abrindo na direção positiva do eixo
. Ou seja, à medida que
e
aumentam,
também aumenta.
Passo 5
Agora, para esboçar a superfície, podemos desenhar o eixo
como a direção principal. No ponto onde
, temos
e
, que é o vértice do paraboloide. À medida que
aumenta, desenhamos elipses maiores em planos paralelos ao plano
-
.
Resposta
A equação
representa um paraboloide elíptico que se abre na direção positiva do eixo
. O vértice está na origem, e as seções transversais paralelas ao plano
-
são elipses. O esboço da superfície mostrará elipses de tamanho crescente à medida que nos afastamos do vértice ao longo do eixo
.