Identifique e descreva a superfície do R^3 dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
y = 4 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa identificar e descrever a superfície no espaço tridimensional R^3 que é definida pela equação . Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica envolvendo superfícies no espaço. Vamos precisar entender como essa equação se comporta em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação . Essa é uma equação de uma parábola no plano xy. Em duas dimensões, essa parábola abre para cima, já que o coeficiente de x^2 é positivo.

Passo 3

Agora, como estamos trabalhando em três dimensões ( x, y, z), precisamos pensar em como essa parábola se estende ao longo do eixo que falta, que é o eixo z. A equação não envolve o z, ou seja, para qualquer valor de z, a relação se mantém.

Passo 4

Isso significa que todas as réplicas da parábola ficam espalhadas ao longo do eixo z. Geometricamente, isso forma uma superfície chamada de cilindro parabólico. Esse cilindro é criado pela translação da parábola ao longo de uma reta paralela ao eixo z.

Passo 5

Para fazer um esboço dessa superfície, imagine a parábola no plano xy e, em seguida, “puxe” essa curva para cima e para baixo ao longo do eixo z. Você vai ver que a forma resultante é um cilindro com seção transversal parabólica.

Resposta

A superfície definida por em R^3 é um cilindro parabólico, formado pela translação da parábola ao longo do eixo z. O esboço dessa superfície mostra uma parábola estendida infinitamente na direção do eixo z.

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