Identifique e descreva a superfície do
dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa identificar e descrever a superfície no espaço tridimensional
que é definida pela equação
. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica envolvendo superfícies no espaço. Vamos precisar entender como essa equação se comporta em três dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação
. Essa é uma equação de uma parábola no plano
. Em duas dimensões, essa parábola abre para cima, já que o coeficiente de
é positivo.
Passo 3
Agora, como estamos trabalhando em três dimensões (
,
,
), precisamos pensar em como essa parábola se estende ao longo do eixo que falta, que é o eixo
. A equação não envolve o
, ou seja, para qualquer valor de
, a relação
se mantém.
Passo 4
Isso significa que todas as réplicas da parábola
ficam espalhadas ao longo do eixo
. Geometricamente, isso forma uma superfície chamada de cilindro parabólico. Esse cilindro é criado pela translação da parábola ao longo de uma reta paralela ao eixo
.
Passo 5
Para fazer um esboço dessa superfície, imagine a parábola
no plano
e, em seguida, “puxe” essa curva para cima e para baixo ao longo do eixo
. Você vai ver que a forma resultante é um cilindro com seção transversal parabólica.
Resposta
A superfície definida por
em
é um cilindro parabólico, formado pela translação da parábola
ao longo do eixo
. O esboço dessa superfície mostra uma parábola estendida infinitamente na direção do eixo
.