2,5 pontos) Seja f: R -> R derivável e seja g(x) = f(x^4 + 2). Supondo f'(3) = 5, calcule g'(1)

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos uma função derivável e definimos uma nova função . Precisamos encontrar a derivada de no ponto , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é uma técnica essencial no cálculo para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função interna e a função externa na composição . Aqui, a função interna é e a função externa é .

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada por:
Isso significa que precisamos derivar a função externa em relação a sua própria variável e multiplicar pela derivada da função interna em relação a .

Passo 4

Vamos calcular a derivada da função interna . Aplicando a regra de derivação para polinômios:

Passo 5

Agora, vamos avaliar no ponto :
Isso significa que .

Passo 6

Sabemos pelo enunciado que . Agora, substituímos na fórmula da regra da cadeia:

Resposta

Portanto, a derivada de no ponto é .

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