a) Para todo
b) para algum
c) Para todo par, é par
d) Para todo ímpar, é ímpar

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou tem quatro partes (a, b, c e d) e envolve propriedades de números inteiros, como desigualdades e paridade (se um número é par ou ímpar). Para resolver, vamos precisar entender conceitos básicos de álgebra e propriedades dos números pares e ímpares.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): "Para todo ". Aqui, precisamos analisar se, para qualquer valor de , o quadrado de é sempre maior ou igual a . Mas, olhando bem, essa afirmação depende de como está relacionado com . Sem uma relação específica entre e , não podemos afirmar que isso é sempre verdade. Por exemplo, se , então , o que contraria a afirmação.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): " para algum ". Aqui, estamos vendo se existe pelo menos um valor de que satisfaz essa equação para . Como essa é uma equação linear, para qualquer valor de , podemos encontrar um que a satisfaça. Basta resolver para : . Portanto, existe sempre um que torna essa equação verdadeira.

Passo 4

Seguimos para a parte c): “Para todo par, é par”. Vamos lembrar que um número par multiplicado por qualquer número inteiro resulta em um número par. Isso porque a definição de número par é aquele que pode ser expresso como , onde é um inteiro. Então, se é par, , e , que é claramente par.

Passo 5

Finalmente, a parte d): “Para todo ímpar, é ímpar”. Aqui, vamos lembrar que a multiplicação de dois números ímpares resulta em um número ímpar, mas se for par, então será par, mesmo que seja ímpar. Por exemplo, se (ímpar) e (par), então (par). Portanto, a afirmação não é verdadeira para todo .

Resposta

a) Falsa
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Falsa

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