Calcule integral x+3x(x-3)(x-4) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral. A questão pede para calcular . Vamos precisar usar o conteúdo de frações parciais, que é uma técnica para decompor uma fração complexa em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração x+3x(x-3)(x-4) = Ax + Bx-3 + Cx-4 em frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa fração como a soma de frações mais simples:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de x + 3 = A(x-3)(x-4) + Bx(x-4) + Cx(x-3) , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar para encontrar os coeficientes.

Passo 4

Expandindo os termos:
x + 3 = A(x^2 - 7x + 12) + B(x^2 - 4x) + C(x^2 - 3x)
Agrupando os termos semelhantes:
x + 3 = (A + B + C)x^2 + (-7A - 4B - 3C)x + 12A

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes de A + B + C = 0 -7A - 4B - 3C = 1 12A = 3 , 12A = 3 Rightarrow A = 312 = 14 e os termos constantes de ambos os lados da equação:
Resolvendo o sistema de equações:
Primeiro, da terceira equação:

Passo 6

Substituindo 14 + B + C = 0 Rightarrow B + C = -14 na primeira equação:
-7(14) - 4B - 3C = 1 Rightarrow -74 - 4B - 3C = 1 Rightarrow -4B - 3C = 1 + 74 = 114
E na segunda equação:

Passo 7

Agora temos o sistema:
B + C = -14 -4B - 3C = 114
Podemos resolver fazendo -4B - 3(-14 - B) = 114 Rightarrow -4B + 34 + 3B = 114 e substituindo na segunda equação:
-B + 34 = 114 Rightarrow -B = 114 - 34 = 2 Rightarrow B = -2
Simplificando:
Então, .

Passo 8

Agora que encontramos x+3x(x-3)(x-4) = 1/4x + -2x-3 + 7/4x-4 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 14x , dx - 2 integral 1x-3 , dx + 74 integral 1x-4 , dx
Lembrando que , onde é a constante de integração.

Passo 10

Aplicando a integral:
14 ln|x| - 2 ln|x-3| + 74 ln|x-4| + C

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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