Calcule integral0^2 integral0^raiz4-y^2 x^2+y^2 d x d y.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla:
integral0^2 integral0^raiz4 - y^2 (x^2 + y^2) , dx , dy
Isso faz parte do conteúdo de integrais duplas em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar integrar uma função de duas variáveis sobre uma região específica no plano .

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a integral (x^2 + y^2) , dx = x^33 + y^2x + C , mantendo fixo. A função que vamos integrar é .
A antiderivada de em relação a é , e a antiderivada de em relação a é , já que é considerado constante durante essa integração.
Então, temos:

Passo 3

Agora, aplicamos os limites de integração para [ x^33 + y^2x ]0^raiz4 - y^2 = (raiz4 - y^2)^33 + y^2(raiz4 - y^2) - 0 , que vão de = (4 - y^2)^323 + y^2(4 - y^2)^12 até :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral0^2 ( (4 - y^2)^323 + y^2(4 - y^2)^12 ) , dy , de = integral0^2 (4 - y^2)^12 cdot (4 - y^2 + 3y^2)3 , dy = integral0^2 (4 - y^2)^12 cdot (4 + 2y^2)3 , dy a :
Para facilitar, podemos fatorar :

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Seja = 13 integral0^pi2 raiz4cos^2theta cdot (4 + 2 cdot 4sin^2theta) cdot 2costheta , dtheta , então = 83 integral0^pi2 cos^2theta (4 + 8sin^2theta) , dtheta e = 83 (4 cdot pi4 + 8 cdot pi16) = 83 (pi + pi2) = 83 cdot 3pi2 = 4pi .
Substituindo na integral:
Simplificando:
Calculando as integrais padrão:

Resposta

O valor da integral é .

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