Calcule
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla:
Isso faz parte do conteúdo de integrais duplas em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar integrar uma função de duas variáveis sobre uma região específica no plano
.
Passo 2
Vamos começar integrando em relação a
, mantendo
fixo. A função que vamos integrar é
.
A antiderivada de
em relação a
é
, e a antiderivada de
em relação a
é
, já que
é considerado constante durante essa integração.
Então, temos:
Passo 3
Agora, aplicamos os limites de integração para
, que vão de
até
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
, de
a
:
Para facilitar, podemos fatorar
:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Seja
, então
e
.
Substituindo na integral:
Simplificando:
Calculando as integrais padrão:
Resposta
O valor da integral é
.