Calcule .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla:
Isso faz parte do conteúdo de integrais duplas em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar integrar uma função de duas variáveis sobre uma região específica no plano .

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a , mantendo fixo. A função que vamos integrar é .
A antiderivada de em relação a é , e a antiderivada de em relação a é , já que é considerado constante durante essa integração.
Então, temos:

Passo 3

Agora, aplicamos os limites de integração para , que vão de até :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a , de a :
Para facilitar, podemos fatorar :

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Seja , então e .
Substituindo na integral:
Simplificando:
Calculando as integrais padrão:

Resposta

O valor da integral é .

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