Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique. (a) Se a série diverge em , então ela diverge em .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos analisando a afirmação: **"Se a série diverge em , então ela diverge em ."** O conteúdo aqui envolve **séries de potências** e **convergência/divergência**. Para resolver, vamos precisar entender o **raio de convergência** de uma série de potências e como ele determina onde a série converge ou diverge.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é uma **série de potências**. Uma série de potências tem a forma , onde são os coeficientes e é a variável. O **raio de convergência** dessa série é o valor tal que a série converge para todos os com e diverge para . Nos pontos onde , a série pode convergir ou diverger, dependendo do caso.

Passo 3

Se a série **diverge em **, isso nos diz que está fora ou na fronteira do raio de convergência. Se , então claramente também está fora do raio, o que implicaria divergência. Mas se , ainda precisamos analisar separadamente, pois a divergência em não necessariamente determina o que acontece em .

Passo 4

Contudo, mesmo que , ao aumentarmos para 3, que é maior que 2, estamos definitivamente além do raio de convergência. Portanto, independente de ser menor ou igual a 2, ao considerar , estamos sempre fora do raio de convergência, o que garante que a série **diverge em **.

Resposta

A afirmação é **Verdadeira (V)**. Se a série diverge em , ela também diverge em .

Exercícios relacionados

Encontre .
Calcule .
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências. (d)
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências. (h)