Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
(a) Se a série
diverge em
, então ela diverge em
.
(a) Se a série
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos analisando a afirmação: “Se a série
diverge em
, então ela diverge em
.” O conteúdo aqui envolve séries de potências e convergência/divergência. Para resolver, vamos precisar entender o raio de convergência de uma série de potências e como ele determina onde a série converge ou diverge.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é uma série de potências. Uma série de potências tem a forma
, onde
são os coeficientes e
é a variável. O raio de convergência dessa série é o valor
tal que a série converge para todos os
com
e diverge para
. Nos pontos onde
, a série pode convergir ou diverger, dependendo do caso.
Passo 3
Se a série diverge em
, isso nos diz que
está fora ou na fronteira do raio de convergência. Se
, então claramente
também está fora do raio, o que implicaria divergência. Mas se
, ainda precisamos analisar
separadamente, pois a divergência em
não necessariamente determina o que acontece em
.
Passo 4
Contudo, mesmo que
, ao aumentarmos
para 3, que é maior que 2, estamos definitivamente além do raio de convergência. Portanto, independente de
ser menor ou igual a 2, ao considerar
, estamos sempre fora do raio de convergência, o que garante que a série diverge em
.
Resposta
A afirmação é Verdadeira (V). Se a série
diverge em
, ela também diverge em
.