Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
(a) Se a série sum cn x^n diverge em x=2, então ela diverge em x=3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos analisando a afirmação: “Se a série sum cn x^n diverge em x=2, então ela diverge em x=3.” O conteúdo aqui envolve séries de potências e convergência/divergência. Para resolver, vamos precisar entender o raio de convergência de uma série de potências e como ele determina onde a série converge ou diverge.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é uma série de potências. Uma série de potências tem a forma sum cn x^n, onde cn são os coeficientes e x é a variável. O raio de convergência dessa série é o valor R tal que a série converge para todos os x com |x| < R e diverge para |x| > R. Nos pontos onde |x| = R, a série pode convergir ou diverger, dependendo do caso.

Passo 3

Se a série diverge em x=2, isso nos diz que |2| está fora ou na fronteira do raio de convergência. Se R < 2, então claramente x=3 também está fora do raio, o que implicaria divergência. Mas se R = 2, ainda precisamos analisar x=3 separadamente, pois a divergência em x=2 não necessariamente determina o que acontece em x=3.

Passo 4

Contudo, mesmo que R = 2, ao aumentarmos x para 3, que é maior que 2, estamos definitivamente além do raio de convergência. Portanto, independente de R ser menor ou igual a 2, ao considerar x=3, estamos sempre fora do raio de convergência, o que garante que a série diverge em x=3.

Resposta

A afirmação é Verdadeira (V). Se a série sum cn x^n diverge em x=2, ela também diverge em x=3.

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