Calcule
integral0^1 (2^x+2^(-x))raiz(1+(2^x-2^(-x))^2)^5 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de 0 a 1 da função:
2^x + 2^-xraiz(1 + (2^x - 2^-x)^2)^5 , dx
Aqui, estamos trabalhando com integrais definidas e vamos precisar usar substituição para simplificar a expressão e facilitar a resolução.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observe que no denominador temos u = 2^x - 2^-x . Vamos definir:
dudx = 2^x ln 2 + 2^-x ln 2 = (2^x + 2^-x) ln 2
Agora, vamos calcular a derivada de dx = du(2^x + 2^-x) ln 2 em relação a :
Isso nos dá:

Passo 3

Substituindo integral0^1 2^x + 2^-xraiz(1 + u^2)^5 cdot du(2^x + 2^-x) ln 2 = 1ln 2 integral du(1 + u^2)^5/2 e integral du(1 + u^2)^5/2 na integral original:
Agora, precisamos resolver a integral:

Passo 4

Para resolver essa integral, usamos uma técnica de substituição trigonométrica. Sabemos que:
integral du(1 + u^2)^5/2 = u3(1 + u^2)^3/2 + u(1 + u^2)^1/2 + C
Aplicando os limites de 0 a 1ln 2 [ u3(1 + u^2)^3/2 + u(1 + u^2)^1/2 ]0^32 , temos:
323(1 + (32)^2)^3/2 + 32(1 + (32)^2)^1/2 = 32 ( 13(1 + 94)^3/2 + 1(1 + 94)^1/2 )
Calculando nos limites:
  • Para 0 + 0 = 0 :
    32 ( 13(134)^3/2 + 1(134)^1/2 ) = 32 ( 13 cdot 13 raiz138 + 1raiz132 )
  • Para 32 ( 839 raiz13 + 2raiz13 ) = 32 cdot 3013 raiz13 = 4513 raiz13 :
Simplificando:
Simplificando ainda mais:

Resposta

O valor da integral é:
3013 raiz13 cdot ln 2

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