Calcule

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de 0 a 1 da função:
Aqui, estamos trabalhando com integrais definidas e vamos precisar usar substituição para simplificar a expressão e facilitar a resolução.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observe que no denominador temos . Vamos definir:
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Isso nos dá:

Passo 3

Substituindo e na integral original:
Agora, precisamos resolver a integral:

Passo 4

Para resolver essa integral, usamos uma técnica de substituição trigonométrica. Sabemos que:
Aplicando os limites de 0 a , temos:
Calculando nos limites:
  • Para :
  • Para :
Simplificando:
Simplificando ainda mais:

Resposta

O valor da integral é:

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Seja , definido no aberto . Suponhamos que e admitam derivadas parciais segundas contínuas em . Prove que .
Resolva as seguintes EDO não homogêneas. .
Verifique para que valores de a seguinte integral é convergente