Calcule
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de 0 a 1 da função:
Aqui, estamos trabalhando com integrais definidas e vamos precisar usar substituição para simplificar a expressão e facilitar a resolução.
Passo 2
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observe que no denominador temos
. Vamos definir:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso nos dá:
Passo 3
Substituindo
e
na integral original:
Agora, precisamos resolver a integral:
Passo 4
Para resolver essa integral, usamos uma técnica de substituição trigonométrica. Sabemos que:
Aplicando os limites de 0 a
, temos:
Calculando nos limites:
-
Para
: -
Para
:
Simplificando:
Simplificando ainda mais:
Resposta
O valor da integral é:
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Seja
, definido no aberto
. Suponhamos que
e
admitam derivadas parciais segundas contínuas em
. Prove que
.
Resolva as seguintes EDO não homogêneas.
.
Verifique para que valores de
a seguinte integral é convergente