Seja , definido no aberto . Suponhamos que e admitam derivadas parciais segundas contínuas em . Prove que .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial definido em um aberto em . O objetivo é provar que a divergência do rotacional de é zero, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar das definições de rotacional e divergente, além de calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de , denotado por , é dado por:
Isso nos dá um novo campo vetorial.

Passo 3

Agora, vamos definir a divergência de um campo vetorial. A divergência de um campo é dada por:
Vamos aplicar essa definição ao rotacional de .

Passo 4

Aplicando a divergência ao rotacional de , temos:

Passo 5

Vamos expandir os termos:

Passo 6

Observamos que, pela suposição do exercício, as derivadas parciais segundas são contínuas. Isso nos permite aplicar o teorema de Clairaut, que diz que a ordem das derivadas é indiferente. Portanto, temos:

Passo 7

Substituindo essas igualdades na expressão anterior:
Note que cada termo se cancela com outro:

Resposta

Portanto, demonstramos que .

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