Seja
, definido no aberto
. Suponhamos que
e
admitam derivadas parciais segundas contínuas em
. Prove que
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial definido em um aberto
em
. O objetivo é provar que a divergência do rotacional de
é zero, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar das definições de rotacional e divergente, além de calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de
, denotado por
, é dado por:
Isso nos dá um novo campo vetorial.
Passo 3
Agora, vamos definir a divergência de um campo vetorial. A divergência de um campo
é dada por:
Vamos aplicar essa definição ao rotacional de
.
Passo 4
Aplicando a divergência ao rotacional de
, temos:
Passo 5
Vamos expandir os termos:
Passo 6
Observamos que, pela suposição do exercício, as derivadas parciais segundas são contínuas. Isso nos permite aplicar o teorema de Clairaut, que diz que a ordem das derivadas é indiferente. Portanto, temos:
Passo 7
Substituindo essas igualdades na expressão anterior:
Note que cada termo se cancela com outro:
Resposta
Portanto, demonstramos que
.
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.
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.
Calcule
Verifique para que valores de
a seguinte integral é convergente