Resolva as seguintes EDO não homogêneas. .

Passo 1

Então, galera, temos uma equação diferencial bem legal aqui:
Essa é uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem e não homogênea. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação. Vamos precisar identificar os coeficientes da equação e aplicar um pouco de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Comparando com a nossa equação:
Agora que temos e , podemos encontrar o fator integrante.

Passo 3

O próximo passo é calcular o fator integrante , que é dado por:
Substituindo na integral:
Vamos resolver essa integral.

Passo 4

Para resolver a integral , fazemos uma substituição:
Seja , então
A integral fica:
Portanto:
Desconsideramos a constante multiplicativa porque ela cancela na solução final.

Passo 5

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 6

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados em relação a :

Passo 7

Para resolver a integral , fazemos outra substituição:
Seja , então
A integral fica:
Portanto:

Passo 8

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equaç��o diferencial é:
onde é a constante de integração.

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Seja , definido no aberto . Suponhamos que e admitam derivadas parciais segundas contínuas em . Prove que .
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