Resolva as seguintes EDO não homogêneas.
.
Passo 1
Então, galera, temos uma equação diferencial bem legal aqui:
Essa é uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem e não homogênea. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação. Vamos precisar identificar os coeficientes da equação e aplicar um pouco de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Comparando com a nossa equação:
Agora que temos
e
, podemos encontrar o fator integrante.
Passo 3
O próximo passo é calcular o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
na integral:
Vamos resolver essa integral.
Passo 4
Para resolver a integral
, fazemos uma substituição:
Seja , então
A integral fica:
Seja
A integral fica:
Portanto:
Desconsideramos a constante multiplicativa porque ela cancela na solução final.
Passo 5
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 6
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Passo 7
Para resolver a integral
, fazemos outra substituição:
Seja , então
A integral fica:
Seja
A integral fica:
Portanto:
Passo 8
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equaç��o diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Encontre solução geral para as EDO.
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Encontre solução geral para as EDO.
;
Seja
, definido no aberto
. Suponhamos que
e
admitam derivadas parciais segundas contínuas em
. Prove que
.
Calcule