Calcule dd x integral2^x^2 raiz1+t^2 d t (Resposta: raiz1+(x^2)^2 cdot 2 x )
24
Qual o valor de integral-3^3(x+5) raiz9-x^2 d x ? Tente não fazer as integrais e use o gráfico de f(x)=raiz9-x^2 e o fato que g(x)=x raiz9-x^2 é uma função ímpar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos usar o gráfico da função e aproveitar o fato de que é uma função ímpar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ímpar. Uma função é ímpar se . Isso implica que o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. No nosso caso, é ímpar.

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral original em duas partes para facilitar a análise:
integral-3^3 (x + 5) raiz9 - x^2 , dx = integral-3^3 x raiz9 - x^2 , dx + integral-3^3 5 raiz9 - x^2 , dx

Passo 4

Observamos que a primeira integral, integral-3^3 x raiz9 - x^2 , dx = 0 , envolve a função , que é ímpar. Sabemos que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto:

Passo 5

Focando na segunda integral, 5 integral-3^3 raiz9 - x^2 , dx , podemos fatorar o 5:
A função representa um semicírculo com raio 3. A integral dessa função de a corresponde à área desse semicírculo.

Passo 6

Sabemos que a área de um círculo completo é 12 pi (3)^2 = 9pi2 . Como temos apenas um semicírculo, a área é:
5 integral-3^3 raiz9 - x^2 , dx = 5 times 9pi2 = 45pi2
Portanto:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados