A figura abaixo mostra um triângulo
inscrito na região entre a parábola
e a linha
. Determine o limite da razão entre a área do triângulo e a área da região parabólica quando
tende à zero. (Resposta:
)
34
Sejam as duas integrais abaixo:
a)
b)
(a) Tente adivinhar qual delas será a maior à ser computada. Explique seus motivos.
34
Sejam as duas integrais abaixo:
a)
b)
(a) Tente adivinhar qual delas será a maior à ser computada. Explique seus motivos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos duas integrais:
a)
b)
Queremos descobrir qual dessas integrais será maior quando as calcularmos. Para isso, vamos precisar entender o que cada integral representa e como elas se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral a):
Essa integral representa a área sob a curva
, que é a parte superior de um círculo de raio 4 centrado na origem. Geometricamente, essa área corresponde a um semicírculo.
Passo 3
Agora, vamos analisar a integral b):
Essa integral envolve o produto de
com
. Para entender o que isso representa, podemos perceber que a função é ímpar em relação ao eixo
porque o termo
muda de sinal quando
se torna
. Isso significa que, ao integrar de
a
(os limites do círculo), as áreas positivas e negativas se cancelariam, resultando em zero.
Passo 4
Comparando as duas integrais:
- A integral a) representa uma área sempre positiva (um semicírculo), resultando em um valor positivo.
- A integral b), se considerada em intervalos simétricos ao redor de zero, resulta em zero devido à natureza ímpar da função.
Portanto, mesmo se considerarmos apenas a magnitude das integrais, a integral a) será maior que a integral b).
Passo 5
Além disso, se pensarmos na magnitude das funções:
- Em a),
varia de 0 a 4. - Em b),
varia de -16 a 16, mas como a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero, a magnitude efetiva é menor comparada à integral a).
Resposta
A integral a)
será maior ao ser computada.
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