A figura abaixo mostra um triângulo inscrito na região entre a parábola e a linha . Determine o limite da razão entre a área do triângulo e a área da região parabólica quando tende à zero. (Resposta: )
34
Sejam as duas integrais abaixo:
a)
b)
(a) Tente adivinhar qual delas será a maior à ser computada. Explique seus motivos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos duas integrais:
a)
b)
Queremos descobrir qual dessas integrais será maior quando as calcularmos. Para isso, vamos precisar entender o que cada integral representa e como elas se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral a):
Essa integral representa a área sob a curva , que é a parte superior de um círculo de raio 4 centrado na origem. Geometricamente, essa área corresponde a um semicírculo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a integral b):
Essa integral envolve o produto de com . Para entender o que isso representa, podemos perceber que a função é ímpar em relação ao eixo porque o termo muda de sinal quando se torna . Isso significa que, ao integrar de a (os limites do círculo), as áreas positivas e negativas se cancelariam, resultando em zero.

Passo 4

Comparando as duas integrais:
  • A integral a) representa uma área sempre positiva (um semicírculo), resultando em um valor positivo.
  • A integral b), se considerada em intervalos simétricos ao redor de zero, resulta em zero devido à natureza ímpar da função.
Portanto, mesmo se considerarmos apenas a magnitude das integrais, a integral a) será maior que a integral b).

Passo 5

Além disso, se pensarmos na magnitude das funções:
  • Em a), varia de 0 a 4.
  • Em b), varia de -16 a 16, mas como a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero, a magnitude efetiva é menor comparada à integral a).

Resposta

A integral a) será maior ao ser computada.

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