Calcule
no sentido anti-horário da circunferência .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa integral de linha que envolve um pouco de cálculo vetorial. O exercício pede para calcular a integral ao longo da circunferência no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla, facilitando os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na integral dada:

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que para uma curva fechada e uma região que a curva delimita,
Então, nosso próximo passo é calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular :
Agora, calculamos :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:

Passo 6

Agora, a integral dupla fica:
Sabemos que é a circunferência , então é mais fácil calcular essa integral em coordenadas polares.

Passo 7

Em coordenadas polares, temos:
Então, a integral se transforma em:

Passo 8

Os limites em coordenadas polares para a circunferência de raio 1 são de 0 a 1 e de 0 a . Então:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 9

Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

A integral vale .

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