Calcule
integralC[(3 x^2 e^y-x^2 y-y^33) d x+(x^3 e^y+cos (y)) d y]
no sentido anti-horário da circunferência x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa integral de linha que envolve um pouco de cálculo vetorial. O exercício pede para calcular a integral ao longo da circunferência x^2+y^2=1 no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla, facilitando os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções P(x, y) e Q(x, y) na integral dada:
P(x, y) = 3x^2 e^y - x^2 y - y^33
Q(x, y) = x^3 e^y + cos(y)

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que para uma curva fechada C e uma região D que a curva delimita,
ointC (P,dx + Q,dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
Então, nosso próximo passo é calcular as derivadas parciais de Q em relação a x e de P em relação a y.

Passo 4

Vamos calcular partial Qpartial x:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^3 e^y + cos(y)) = 3x^2 e^y
Agora, calculamos partial Ppartial y:
partial Ppartial y = partialpartial y (3x^2 e^y - x^2 y - y^33) = 3x^2 e^y - x^2 - y^2

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3x^2 e^y - (3x^2 e^y - x^2 - y^2) = x^2 + y^2

Passo 6

Agora, a integral dupla fica:
integral duplaD (x^2 + y^2) dx,dy
Sabemos que D é a circunferência x^2+y^2=1, então é mais fácil calcular essa integral em coordenadas polares.

Passo 7

Em coordenadas polares, temos:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
x^2 + y^2 = r^2
dx,dy = r,dr,dtheta
Então, a integral se transforma em:
integral duplaD r^2 cdot r , dr,dtheta = integral duplaD r^3 dr,dtheta

Passo 8

Os limites em coordenadas polares para a circunferência de raio 1 são r de 0 a 1 e theta de 0 a 2pi. Então:
integral0^2pi integral0^1 r^3 dr,dtheta
Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^1 r^3 dr = [r^44]0^1 = 14

Passo 9

Agora, integramos o resultado em relação a theta:
integral0^2pi 14 dtheta = 14 [theta]0^2pi = 14 cdot 2pi = pi2

Resposta

A integral vale dfracpi2.

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