Calcule
no sentido anti-horário da circunferência
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa integral de linha que envolve um pouco de cálculo vetorial. O exercício pede para calcular a integral ao longo da circunferência
no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla, facilitando os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na integral dada:
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que para uma curva fechada
e uma região
que a curva delimita,
Então, nosso próximo passo é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora, calculamos
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 6
Agora, a integral dupla fica:
Sabemos que
é a circunferência
, então é mais fácil calcular essa integral em coordenadas polares.
Passo 7
Em coordenadas polares, temos:
Então, a integral se transforma em:
Passo 8
Os limites em coordenadas polares para a circunferência de raio 1 são
de 0 a 1 e
de 0 a
. Então:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 9
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
A integral vale
.
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Integração Direta e Equações Separáveis: Integrar as seguintes ED
f) .
f)
Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
Mostre que toda EDO de primeira ordem tem um método analítico de solução.
Determine a imagem de
. Considere a função
.