Determine a imagem de
. Considere a função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir qual é a imagem da função
. Isso envolve entender quais valores
pode assumir quando a gente varia
e
. Vamos usar conhecimentos de funções de duas variáveis e completar o quadrado para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a função para facilitar a análise. Escrevemos:
Agora, vamos completar o quadrado separadamente para
e para
.
Passo 3
Para o termo com
:
Completando o quadrado, adicionamos e subtraímos
:
Passo 4
Para o termo com
:
Completando o quadrado, adicionamos e subtraiimos
:
Passo 5
Substituindo de volta na função original:
Simplificando os termos constantes:
Passo 6
Agora, vemos que
e
são quadrados perfeitos, ou seja, são sempre maiores ou iguais a zero. Portanto, o menor valor que
pode assumir é quando ambos os quadrados forem zero:
Isso acontece quando
e
. Substituindo na função:
Resposta
A imagem de
é todos os números reais maiores ou iguais a 1, ou seja: