Determine a imagem de f. Considere a função f(x, y) = 6 - 4x - 2y + x^2 + y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir qual é a imagem da função . Isso envolve entender quais valores pode assumir quando a gente varia e . Vamos usar conhecimentos de funções de duas variáveis e completar o quadrado para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a função para facilitar a análise. Escrevemos:
Agora, vamos completar o quadrado separadamente para e para .

Passo 3

Para o termo com :
Completando o quadrado, adicionamos e subtraímos :

Passo 4

Para o termo com :
Completando o quadrado, adicionamos e subtraiimos :

Passo 5

Substituindo de volta na função original:
Simplificando os termos constantes:

Passo 6

Agora, vemos que e são quadrados perfeitos, ou seja, são sempre maiores ou iguais a zero. Portanto, o menor valor que pode assumir é quando ambos os quadrados forem zero:
Isso acontece quando e . Substituindo na função:

Resposta

A imagem de é todos os números reais maiores ou iguais a 1, ou seja:

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