Integração Direta e Equações Separáveis: Integrar as seguintes ED
f) .

Passo 1

Beleza, a gente tem a equação diferencial . Vamos resolver essa equação usando o método de Equações Diferenciais Exatas. Precisamos verificar se ela é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Reescrevendo na forma padrão , temos:

Passo 3

Agora, para ver se a equação é exata, a gente precisa verificar se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a .
Calculando as derivadas:

Passo 4

Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 5

Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Isso nos dá:

Passo 7

Simplificando, vemos que:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Substituindo de volta na função :

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é dada por . Portanto:

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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d) .
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no sentido anti-horário da circunferência .
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