Integração Direta e Equações Separáveis: Integrar as seguintes ED
f)
.
f)
Passo 1
Beleza, a gente tem a equação diferencial
. Vamos resolver essa equação usando o método de Equações Diferenciais Exatas. Precisamos verificar se ela é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Reescrevendo na forma padrão
, temos:
Passo 3
Agora, para ver se a equação é exata, a gente precisa verificar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Calculando as derivadas:
Passo 4
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 5
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Isso nos dá:
Passo 7
Simplificando, vemos que:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Substituindo
de volta na função
:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é dada por
. Portanto:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
Integração Direta e Equações Separáveis: Integrar as seguintes ED
d) .
d)
Calcule
no sentido anti-horário da circunferência
.
Mostre que toda EDO de primeira ordem tem um método analítico de solução.