Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação envolvendo funções trigonométricas e produtos de variáveis:
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de primeira ordem dessa equação em relação a cada uma das variáveis:
,
e
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e entender como derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
. Isso significa que vamos tratar
e
como constantes enquanto derivamos em relação a
. A equação é:
Vamos derivar ambos os lados em relação a
.
Passo 3
Derivando o lado esquerdo, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
, onde
. Então:
No lado direito, a derivada de
em relação a
é
, e as derivadas de
e
em relação a
são
, já que são constantes:
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Para encontrar a derivada parcial
, se considerarmos
como função de
e
, precisaríamos isolar
. Mas, com as informações dadas, podemos apenas expressar a relação entre as derivadas parciais.
Passo 5
Seguindo o mesmo processo, vamos derivar a equação original em relação a
e
.
Derivando em relação a
:
E do lado direito:
Então temos:
Derivando em relação a
:
E do lado direito:
Então:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
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d) .
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a)
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f) .
f)
Calcule
no sentido anti-horário da circunferência
.