Determine as derivadas parciais de primeira ordem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação envolvendo funções trigonométricas e produtos de variáveis: . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de primeira ordem dessa equação em relação a cada uma das variáveis: , e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia e entender como derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a . Isso significa que vamos tratar e como constantes enquanto derivamos em relação a . A equação é:
Vamos derivar ambos os lados em relação a .

Passo 3

Derivando o lado esquerdo, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . Então:
No lado direito, a derivada de em relação a é , e as derivadas de e em relação a são , já que são constantes:

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Para encontrar a derivada parcial , se considerarmos como função de e , precisaríamos isolar . Mas, com as informações dadas, podemos apenas expressar a relação entre as derivadas parciais.

Passo 5

Seguindo o mesmo processo, vamos derivar a equação original em relação a e .
Derivando em relação a :
E do lado direito:
Então temos:
Derivando em relação a :
E do lado direito:
Então:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:

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d) .
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a) .
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f) .
Calcule
no sentido anti-horário da circunferência .