Calcule integralC F cdot d r ao longo da curva C
F(x, y, z)=9 x^2 y i+(5 x^2-y) j
C: y =x^3+1
entre (1,2) e (3,28)
Sol. 1,506

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha ao longo da curva . Aqui, e a curva é dada por , entre os pontos e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a parametrização de curvas e a avaliação de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva r(t) = lang<= t, t^3 + 1 rang<= . Como a curva está definida por , podemos escolher como parâmetro. Então, nossa parametrização será:
Onde varia de 1 a 3, correspondendo aos pontos e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de drdt = lang<= 1, 3t^2 rang<= Rightarrow dr = lang<= 1, 3t^2 rang<= dt em relação a , que é :

Passo 4

Em seguida, substituímos a parametrização na função vetor F(t) = 9t^2(t^3 + 1) i + (5t^2 - (t^3 + 1)) j . Como F(t) = 9t^5 + 9t^2 i + (5t^2 - t^3 - 1) j depende de e , substituímos por e por :
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F(t) cdot drdt = (9t^5 + 9t^2) cdot 1 + (5t^2 - t^3 - 1) cdot 3t^2 :
= 9t^5 + 9t^2 + 15t^4 - 3t^5 - 3t^2
Vamos simplificar isso:
= (9t^5 - 3t^5) + 15t^4 + (9t^2 - 3t^2)
= 6t^5 + 15t^4 + 6t^2

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de integral1^3 (6t^5 + 15t^4 + 6t^2) dt a integral 6t^5 dt = 6 cdot t^66 = t^6 :
integral 15t^4 dt = 15 cdot t^55 = 3t^5
Vamos calcular cada termo separadamente:
integral 6t^2 dt = 6 cdot t^33 = 2t^3
t^6 + 3t^5 + 2t^3 |1^3
Portanto, a integral fica:

Passo 7

Agora, substituímos os limites de integração:
Para 3^6 + 3 cdot 3^5 + 2 cdot 3^3 = 729 + 729 + 54 = 1512 :
1^6 + 3 cdot 1^5 + 2 cdot 1^3 = 1 + 3 + 2 = 6
Para 1512 - 6 = 1506 :
Subtraindo:

Resposta

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