Calcule integralC F cdot d r ao longo da curva C
F(x, y, z)=2 x y i-3 x j
C: r(t) =3 t i-t j 0 <= t <= 1
Sol. -21 / 5

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é para calcular a integral de linha ao longo da curva . A força está definida como e a curva é dada pela parametrização onde . Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente o conceito de integrais de linha, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa encontrar a derivada da posição drdt = ddt(3t,i - t,j) = 3,i - 1,j em relação a , que é . Isso nos dá o vetor tangente à curva .

Passo 3

Agora, vamos substituir a parametrização da curva F(r(t)) = 2(3t)(-t),i - 3(3t),j = -6t^2,i - 9t,j na força . Ou seja, substituímos e em por e respectivamente.

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar entre F cdot drdt = (-6t^2)cdot 3 + (-9t)cdot (-1) = -18t^2 + 9t e .

Passo 5

Finalmente, integramos essa expressão de integral0^1 (-18t^2 + 9t) , dt = [ -6t^3 + 92t^2 ]0^1 = ( -6(1)^3 + 92(1)^2 ) - ( 0 ) = -6 + 92 = -122 + 92 = -32 a F(r(t)) = 2(3t)(-t) = -6t^2,i - 9t,j .
F cdot drdt = (-6t^2)(3) + (-9t)(-1) = -18t^2 + 9t
No entanto, a solução fornecida é integral0^1 (-18t^2 + 9t) dt = [ -6t^3 + 92t^2 ]0^1 = -6 + 92 = -32 , o que sugere que pode haver um erro nos cálculos ou na parametrização inicial. Vamos revisar rapidamente:
Parece haver uma discrepância. Certifique-se de que a parametrização e os cálculos estão corretos ou verifique se há informações adicionais no enunciado.

Resposta

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