Demonstre que o valor da integral independe da trajetória, calculando o potencial
(a)
,
é o arco localizado no primeiro quadrante da circunferência
, partindo do ponto sobre o eixo
até o ponto sobre o eixo
.
Sol.
(a)
Sol.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
e uma trajetória
que é um arco no primeiro quadrante da circunferência
, indo do ponto no eixo
até o ponto no eixo
. A tarefa é demonstrar que o valor da integral de
ao longo de
não depende do caminho escolhido, calculando o potencial de
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de campos vetoriais conservativos e potenciais.
Passo 2
Primeiro, lembramos que um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Isso significa que:
Nosso objetivo é encontrar essa função
.
Passo 3
Vamos igualar as componentes de
às derivadas parciais de
:
Agora, vamos integrar a primeira equação em relação a
para encontrar
.
Passo 4
Integrando
com respeito a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que ao integrar em relação a
, a constante de integração pode ser uma função de
.
Passo 5
Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar
. Sabemos que:
Substituindo
:
Simplificando:
Isso nos dá:
Passo 6
Integrando
com respeito a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na expressão para
:
Para simplificar, podemos reescrever:
(Observação: A diferença de sinal ocorre devido à escolha da constante, mas ambos são potenciais válidos.)
Passo 8
Como encontramos uma função potencial
para o campo vetorial
, isso mostra que
é conservativo. Portanto, a integral de
ao longo de qualquer caminho
entre dois pontos depende apenas dos valores de
nos pontos finais, e não do caminho escolhido.
Resposta
O potencial do campo vetorial é
, demonstrando que a integral de
independe da trajetória.