Demonstre que o valor da integral independe da trajetória, calculando o potencial
(a) F(x, y) = 2(x - y) i + 2(3y - x) j, C é o arco localizado no primeiro quadrante da circunferência x^2 + y^2 = 9, partindo do ponto sobre o eixo x até o ponto sobre o eixo y.
Sol. phi = x^2 + 2xy + 3y^2 + K

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e uma trajetória C que é um arco no primeiro quadrante da circunferência , indo do ponto no eixo x até o ponto no eixo y. A tarefa é demonstrar que o valor da integral de F ao longo de C não depende do caminho escolhido, calculando o potencial de F. Para isso, vamos precisar usar conceitos de campos vetoriais conservativos e potenciais.

Passo 2

Primeiro, lembramos que um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial phi(x, y) tal que . Isso significa que:
Nosso objetivo é encontrar essa função phi(x, y).

Passo 3

Vamos igualar as componentes de F às derivadas parciais de phi:
Agora, vamos integrar a primeira equação em relação a x para encontrar phi.

Passo 4

Integrando com respeito a x:
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y, já que ao integrar em relação a x, a constante de integração pode ser uma função de y.

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar g(y). Sabemos que:
Substituindo :
Simplificando:
Isso nos dá:

Passo 6

Integrando com respeito a y:
onde K é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos g(y) de volta na expressão para phi(x, y):
Para simplificar, podemos reescrever:
(Observação: A diferença de sinal ocorre devido à escolha da constante, mas ambos são potenciais válidos.)

Passo 8

Como encontramos uma função potencial phi(x, y) para o campo vetorial F, isso mostra que F é conservativo. Portanto, a integral de F ao longo de qualquer caminho C entre dois pontos depende apenas dos valores de phi nos pontos finais, e não do caminho escolhido.

Resposta

O potencial do campo vetorial é , demonstrando que a integral de F independe da trajetória.

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