Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, encontre uma função potencial para ele
(b)
Sol.
(b)
Sol.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, também precisamos encontrar uma função potencial para ele. Vamos usar os conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Basicamente, um campo vetorial é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial. Isso significa que o trabalho realizado pelo campo vetorial ao mover uma partícula entre dois pontos não depende do caminho escolhido, mas apenas das posições inicial e final.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, precisamos calcular a derivada cruzada (ou rotacional) do campo vetorial. Se o rotacional for zero em todo o domínio, então o campo é conservativo.
No caso de um campo vetorial bidimensional como esse, o rotacional é dado por:
Passo 4
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Passo 5
Substituindo na fórmula do rotacional:
Como o rotacional é zero, podemos concluir que o campo vetorial
é conservativo.
Passo 6
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. A função potencial satisfaz:
Ou seja:
Passo 7
Vamos integrar a primeira equação em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração.
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à segunda componente de
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A função potencial é: