Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, encontre uma função potencial para ele
(b) F(t) = 3y^2 i + 6xy j
Sol. phi = 3 * x * y^2 + K

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, também precisamos encontrar uma função potencial para ele. Vamos usar os conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Basicamente, um campo vetorial é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial. Isso significa que o trabalho realizado pelo campo vetorial ao mover uma partícula entre dois pontos não depende do caminho escolhido, mas apenas das posições inicial e final.

Passo 3

Para verificar se F é conservativo, precisamos calcular a derivada cruzada (ou rotacional) do campo vetorial. Se o rotacional for zero em todo o domínio, então o campo é conservativo.
No caso de um campo vetorial bidimensional como esse, o rotacional é dado por:

Passo 4

Vamos identificar as componentes de F:
Agora, calculamos as derivadas parciais:

Passo 5

Substituindo na fórmula do rotacional:
Como o rotacional é zero, podemos concluir que o campo vetorial F é conservativo.

Passo 6

Agora que sabemos que F é conservativo, vamos encontrar a função potencial phi. A função potencial satisfaz:
Ou seja:

Passo 7

Vamos integrar a primeira equação em relação a x para encontrar phi:
Aqui, g(y) é uma função de y que surge da integração.

Passo 8

Agora, derivamos phi em relação a y e igualamos à segunda componente de F:
Isso implica que , então g(y) é uma constante, que podemos chamar de K.

Resposta

A função potencial é:

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