Calcules as integrais ao longo da curva dada
Calcule integralC z d s ao longo da parte da curva resultante da interseção de x^2+y^2+z^2=1 com x+y=1, onde z >= 0
Sol. 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O problema pede para calcular integralC z , ds ao longo da curva C, que é a interseção da esfera x^2+y^2+z^2=1 com o plano x+y=1, considerando apenas onde z >= 0. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva C. Ela é a interseção entre a esfera x^2+y^2+z^2=1 e o plano x+y=1. Para encontrar essa curva, precisamos expressar uma das variáveis em termos das outras usando o plano e substituir na equação da esfera.

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. x + y = 1 (plano)
  2. x^2 + y^2 + z^2 = 1 (esfera)
Da primeira equação, podemos expressar y em termos de x: y = 1 - x.

Passo 4

Substituindo y = 1 - x na equação da esfera:
x^2 + (1 - x)^2 + z^2 = 1
Expandindo (1 - x)^2:
x^2 + (1 - 2x + x^2) + z^2 = 1
Simplificando:
2x^2 - 2x + 1 + z^2 = 1

Passo 5

Subtraindo 1 de ambos os lados:
2x^2 - 2x + z^2 = 0
Podemos reescrever isso como:
z^2 = 2x - 2x^2

Passo 6

Para parametrizar a curva, vamos escolher um parâmetro conveniente. Como temos uma relação quadrática em x, podemos usar x como parâmetro. Então, definimos:
x = t
Então, y = 1 - t
E, de z^2 = 2t - 2t^2, temos:
z = raiz2t - 2t^2, considerando z >= 0

Passo 7

Agora, temos a parametrização da curva C:
r(t) = (t, 1 - t, raiz2t - 2t^2)
Precisamos determinar o intervalo de t para que z seja real e z >= 0.

Passo 8

A expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
2t - 2t^2 >= 0
Fatorando:
2t(1 - t) >= 0
Isso acontece quando t in [0, 1]. Então, nosso parâmetro t varia de 0 a 1.

Passo 9

Agora, vamos calcular ds, que é o elemento de comprimento ao longo da curva. Sabemos que:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt
Vamos calcular cada derivada:
dxdt = 1
dydt = -1
Para dzdt, vamos derivar z = raiz2t - 2t^2:
dzdt = 12(2t - 2t^2)^-1/2 cdot (2 - 4t) = 2 - 4t2raiz2t - 2t^2 = 1 - 2traiz2t - 2t^2

Passo 10

Substituindo as derivadas em ds:
ds = raiz1^2 + (-1)^2 + (1 - 2traiz2t - 2t^2)^2 , dt
Simplificando:
ds = raiz1 + 1 + (1 - 2t)^22t - 2t^2 , dt = raiz2 + 1 - 4t + 4t^22t(1 - t) , dt

Passo 11

Simplificando a expressão dentro da raiz:
2 + 1 - 4t + 4t^22t(1 - t) = 4t(1 - t) + 1 - 4t + 4t^22t(1 - t) = 4t - 4t^2 + 1 - 4t + 4t^22t(1 - t) = 12t(1 - t)
Então:
ds = raiz12t(1 - t) , dt = 1raiz2t(1 - t) , dt

Passo 12

Agora, temos tudo para montar a integral:
Simplificando dentro da integral:
integralC z , ds = integral0^1 raiz2t - 2t^2 cdot 1raiz2t(1 - t) , dt
Portanto:

Resposta

O valor da integral é 1.

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