Calcules as integrais ao longo da curva dada
Calcule
ao longo da parte da curva resultante da interseção de
, onde
Sol. 1
Calcule
Sol. 1
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O problema pede para calcular
ao longo da curva
, que é a interseção da esfera
com o plano
, considerando apenas onde
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela é a interseção entre a esfera
e o plano
. Para encontrar essa curva, precisamos expressar uma das variáveis em termos das outras usando o plano e substituir na equação da esfera.
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações:
-
(plano) -
(esfera)
Da primeira equação, podemos expressar
em termos de
:
.
Passo 4
Substituindo
na equação da esfera:
Expandindo
:
Simplificando:
Passo 5
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Podemos reescrever isso como:
Passo 6
Para parametrizar a curva, vamos escolher um parâmetro conveniente. Como temos uma relação quadrática em
, podemos usar
como parâmetro. Então, definimos:
Então,
E, de
, temos:
Passo 7
Agora, temos a parametrização da curva
:
Precisamos determinar o intervalo de
para que
seja real e
.
Passo 8
A expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
Fatorando:
Isso acontece quando
. Então, nosso parâmetro
varia de 0 a 1.
Passo 9
Agora, vamos calcular
, que é o elemento de comprimento ao longo da curva. Sabemos que:
Vamos calcular cada derivada:
Para
, vamos derivar
:
Passo 10
Substituindo as derivadas em
:
Simplificando:
Passo 11
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então:
Passo 12
Agora, temos tudo para montar a integral:
Simplificando dentro da integral:
Portanto:
Resposta
O valor da integral é
.