Calcule , onde e é a semicircunferência , com , orientada de a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial, ou seja, . Aqui, o campo vetorial é , e é uma semicircunferência definida por com , indo de a . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, especificamente campos conservativos e potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que . Para isso, as derivadas parciais devem satisfazer .

Passo 3

Calculando as derivadas:
Como , o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que é conservativo, podemos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:

Passo 5

Integrando em relação a , obtemos:

onde é uma função que depende apenas de .

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :

Isso implica que , então , onde é uma constante.

Passo 7

Portanto, a função potencial é:

Como a constante não afeta a diferença, podemos ignorá-la.

Passo 8

A integral de linha de um campo conservativo depende apenas dos valores da função potencial nos pontos finais. Então:

Passo 9

Calculando os valores:

Resposta

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Considere um campo definido em tal que em . Suponha que e .
Calcule .
Considere o campo vetorial dado por , onde . Calcule , onde é a elipse , percorrida no sentido anti-horário.
Calcule , onde é a curva , orientada de a .
Seja .
(b) Calcule .