Calcule
, onde
e
é a semicircunferência
, com
, orientada de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial, ou seja,
. Aqui, o campo vetorial é
, e
é uma semicircunferência definida por
com
, indo de
a
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, especificamente campos conservativos e potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Para isso, as derivadas parciais devem satisfazer
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, podemos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Passo 5
Integrando
em relação a
, obtemos:
onde é uma função que depende apenas de
.
onde
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que , então
, onde
é uma constante.
Isso implica que
Passo 7
Portanto, a função potencial é:
Como a constante não afeta a diferença, podemos ignorá-la.
Como a constante não afeta a diferença, podemos ignorá-la.
Passo 8
A integral de linha de um campo conservativo depende apenas dos valores da função potencial nos pontos finais. Então:
Passo 9
Calculando os valores:
Resposta
Exercícios relacionados
Considere um campo
definido em
tal que
em
. Suponha que
e
.
Calcule .
Calcule
Considere o campo vetorial dado por
, onde
. Calcule
, onde
é a elipse
, percorrida no sentido anti-horário.
Calcule
, onde
é a curva
, orientada de
a
.
Seja
.
(b) Calcule .
(b) Calcule