Calcule integralC F cdot d r, onde F(x, y)=(y^3+1) i+(3 x y^2+1) j e C é a semicircunferência (x-1)^2+y^2=1, com y >= 0, orientada de (0,0) a (2,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial, ou seja, integralC F cdot d r. Aqui, o campo vetorial é F(x, y)=(y^3+1) i+(3 x y^2+1) j, e C é uma semicircunferência definida por (x-1)^2+y^2=1 com y >= 0, indo de (0,0) a (2,0). Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, especificamente campos conservativos e potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial f(x, y) tal que F = nabla f. Para isso, as derivadas parciais devem satisfazer partial F1partial y = partial F2partial x.

Passo 3

Calculando as derivadas:
  • partial F1partial y = partialpartial y(y^3 + 1) = 3y^2
  • partial F2partial x = partialpartial x(3x y^2 + 1) = 3y^2
Como partial F1partial y = partial F2partial x, o campo F é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que F é conservativo, podemos encontrar a função potencial f(x, y) tal que F = nabla f. Isso significa que:
  • partial fpartial x = y^3 + 1
  • partial fpartial y = 3x y^2 + 1

Passo 5

Integrando partial fpartial x = y^3 + 1 em relação a x, obtemos:
f(x, y) = (y^3 + 1)x + g(y)
onde g(y) é uma função que depende apenas de y.

Passo 6

Agora, derivamos f(x, y) em relação a y e igualamos a partial fpartial y:
partial fpartial y = 3y^2 x + g'(y) = 3x y^2 + 1
Isso implica que g'(y) = 1, então g(y) = y + C, onde C é uma constante.

Passo 7

Portanto, a função potencial é:
f(x, y) = (y^3 + 1)x + y + C
Como a constante não afeta a diferença, podemos ignorá-la.

Passo 8

A integral de linha de um campo conservativo depende apenas dos valores da função potencial nos pontos finais. Então:
integralC F cdot d r = f(2, 0) - f(0, 0)

Passo 9

Calculando os valores:
f(2, 0) = (0 + 1) cdot 2 + 0 = 2
f(0, 0) = (0 + 1) cdot 0 + 0 = 0

Resposta

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