Considere o campo vetorial dado por F(x, y)=nabla f(x, y)-(y,-x), onde f(x, y)=x^2 e^x y cos (y^2). Calcule integralC F cdot d r, onde C é a elipse 4 x^2+9 y^2=36, percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha do campo vetorial F(x, y) = nabla f(x, y) - (y, -x) ao longo da elipse 4x^2 + 9y^2 = 36, percorrida no sentido anti-horário. A matéria aqui envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e o teorema de Green. Vamos precisar entender como manipular campos vetoriais e aplicar o teorema de Green para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a elipse de forma mais simples. A equação 4x^2 + 9y^2 = 36 pode ser dividida por 36 para obter x^29 + y^24 = 1. Isso mostra que estamos lidando com uma elipse com semi-eixos de comprimento 3 (no eixo x) e 2 (no eixo y).

Passo 3

Agora, vamos analisar o campo vetorial F(x, y) = nabla f(x, y) - (y, -x). A primeira parte, nabla f(x, y), é o gradiente da função escalar f(x, y) = x^2 e^x y cos(y^2). O gradiente aponta na direção de maior crescimento da função f.

Passo 4

A integral que queremos calcular é integralC F cdot dr. Podemos separar isso em duas integrais:
integralC nabla f cdot dr - integralC (y, -x) cdot dr
A primeira integral, integralC nabla f cdot dr, é uma integral de linha de um gradiente ao longo de uma curva fechada.

Passo 5

Sabemos que a integral de linha de um gradiente sobre uma curva fechada é sempre zero. Isso ocorre porque o gradiente é um campo conservativo, e a função retorna ao ponto de partida sem “acumular” valor. Então:
integralC nabla f cdot dr = 0

Passo 6

Portanto, a integral que queremos calcular simplifica para:
-integralC (y, -x) cdot dr
Agora, precisamos calcular essa integral de linha do campo (y, -x) ao longo da elipse.

Passo 7

Para resolver essa integral, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área delimitada por essa curva. O Teorema de Green diz:
ointC (P dx + Q dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx dy
No nosso caso, P = y e Q = -x.

Passo 8

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial (-x)partial x = -1
partial Ppartial y = partial ypartial y = 1
Então,
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -1 - 1 = -2

Passo 9

Agora, aplicando o Teorema de Green:
-integralC (y, -x) cdot dr = -integral duplaD (-2) dx dy = 2 integral duplaD dx dy
A integral dupla integral duplaD dx dy representa a área da elipse D.

Passo 10

A área de uma elipse é dada por A = pi a b, onde a e b são os semi-eixos. No nosso caso, a = 3 e b = 2, então:
A = pi times 3 times 2 = 6pi

Passo 11

Substituindo de volta:
2 times 6pi = 12pi

Resposta

A integral integralC F cdot dr vale 12pi.

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