Considere o campo vetorial dado por
, onde
. Calcule
, onde
é a elipse
, percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo da elipse
, percorrida no sentido anti-horário. A matéria aqui envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e o teorema de Green. Vamos precisar entender como manipular campos vetoriais e aplicar o teorema de Green para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a elipse de forma mais simples. A equação
pode ser dividida por 36 para obter
. Isso mostra que estamos lidando com uma elipse com semi-eixos de comprimento 3 (no eixo x) e 2 (no eixo y).
Passo 3
Agora, vamos analisar o campo vetorial
. A primeira parte,
, é o gradiente da função escalar
. O gradiente aponta na direção de maior crescimento da função f.
Passo 4
A integral que queremos calcular é
. Podemos separar isso em duas integrais:
A primeira integral,
, é uma integral de linha de um gradiente ao longo de uma curva fechada.
Passo 5
Sabemos que a integral de linha de um gradiente sobre uma curva fechada é sempre zero. Isso ocorre porque o gradiente é um campo conservativo, e a função retorna ao ponto de partida sem “acumular” valor. Então:
Passo 6
Portanto, a integral que queremos calcular simplifica para:
Agora, precisamos calcular essa integral de linha do campo
ao longo da elipse.
Passo 7
Para resolver essa integral, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área delimitada por essa curva. O Teorema de Green diz:
No nosso caso,
e
.
Passo 8
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então,
Passo 9
Agora, aplicando o Teorema de Green:
A integral dupla
representa a área da elipse
.
Passo 10
A área de uma elipse é dada por
, onde
e
são os semi-eixos. No nosso caso,
e
, então:
Passo 11
Substituindo de volta:
Resposta
A integral
vale
.