Considere um campo
definido em
tal que
em
. Suponha que
e
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
definido no plano, mas com dois pontos removidos:
e
. A coisa chave aqui é que o rotacional de
é zero nessas regiões, o que indica que
é um campo conservativo nessas áreas. No entanto, como removemos dois pontos, precisamos prestar atenção nas circulações ao redor deles. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente relacionados a circulação e campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, como o rotacional de
é zero no domínio
, isso significa que, localmente,
se comporta como um campo conservativo. Campos conservativos têm uma propriedade especial: a circulação ao longo de qualquer caminho fechado que pode ser contraído a um ponto sem sair da região onde o campo é definido é zero. Mas aqui temos dois pontos removidos, o que pode afetar isso.
Passo 3
Os pontos removidos
e
são como fontes ou poços que podem contribuir com circulação mesmo que o rotacional seja zero no restante do domínio. As circulações dadas ao redor desses pontos nos dizem o quanto cada um está “influenciando” o campo
. Especificamente, temos:
-
, onde é um círculo pequeno em torno de . -
, onde é um círculo pequeno em torno de .
Passo 4
Agora, queremos calcular a circulação ao redor de
, que é um grande círculo
. Esse círculo envolve ambos os pontos removidos
e
. Por causa disso, a circulação total ao redor de
será a soma das circulações ao redor de
e
. Isso ocorre porque, essencialmente, estamos capturando a contribuição de ambos os pontos no campo
.
Passo 5
Então, basta somar as circulações conhecidas:
Resposta
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial dado por
, onde
. Calcule
, onde
é a elipse
, percorrida no sentido anti-horário.
Considere a curva
parametrizada por
, com
. Calcule
, onde
.
Calcule
, onde
e
é a semicircunferência
, com
, orientada de
a
.
Calcule
, onde
é a curva
, orientada de
a
.