Considere um campo definido em tal que em . Suponha que e .
Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial definido no plano, mas com dois pontos removidos: e . A coisa chave aqui é que o rotacional de é zero nessas regiões, o que indica que é um campo conservativo nessas áreas. No entanto, como removemos dois pontos, precisamos prestar atenção nas circulações ao redor deles. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente relacionados a circulação e campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, como o rotacional de é zero no domínio , isso significa que, localmente, se comporta como um campo conservativo. Campos conservativos têm uma propriedade especial: a circulação ao longo de qualquer caminho fechado que pode ser contraído a um ponto sem sair da região onde o campo é definido é zero. Mas aqui temos dois pontos removidos, o que pode afetar isso.

Passo 3

Os pontos removidos e são como fontes ou poços que podem contribuir com circulação mesmo que o rotacional seja zero no restante do domínio. As circulações dadas ao redor desses pontos nos dizem o quanto cada um está “influenciando” o campo . Especificamente, temos:
  • , onde é um círculo pequeno em torno de .
  • , onde é um círculo pequeno em torno de .

Passo 4

Agora, queremos calcular a circulação ao redor de , que é um grande círculo . Esse círculo envolve ambos os pontos removidos e . Por causa disso, a circulação total ao redor de será a soma das circulações ao redor de e . Isso ocorre porque, essencialmente, estamos capturando a contribuição de ambos os pontos no campo .

Passo 5

Então, basta somar as circulações conhecidas:

Resposta

Exercícios relacionados

Considere o campo vetorial dado por , onde . Calcule , onde é a elipse , percorrida no sentido anti-horário.
Considere a curva parametrizada por , com . Calcule , onde .
Calcule , onde e é a semicircunferência , com , orientada de a .
Calcule , onde é a curva , orientada de a .