Considere um campo F definido em U=R^2-(-2,0),(2,0) tal que nabla times F(x, y)=0 em (x, y) in U. Suponha que ointC1 F cdot d r=6, C1: (x+2)^2+y^2=1 e ointC2 F cdot d r=9, C2: (x-2)^2+y^2=1.
Calcule ointC F cdot d r, C: x^2+y^2=16.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial F definido no plano, mas com dois pontos removidos: (-2,0) e (2,0). A coisa chave aqui é que o rotacional de F é zero nessas regiões, o que indica que F é um campo conservativo nessas áreas. No entanto, como removemos dois pontos, precisamos prestar atenção nas circulações ao redor deles. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente relacionados a circulação e campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, como o rotacional de F é zero no domínio U = R^2 - (-2,0),(2,0), isso significa que, localmente, F se comporta como um campo conservativo. Campos conservativos têm uma propriedade especial: a circulação ao longo de qualquer caminho fechado que pode ser contraído a um ponto sem sair da região onde o campo é definido é zero. Mas aqui temos dois pontos removidos, o que pode afetar isso.

Passo 3

Os pontos removidos (-2,0) e (2,0) são como fontes ou poços que podem contribuir com circulação mesmo que o rotacional seja zero no restante do domínio. As circulações dadas ao redor desses pontos nos dizem o quanto cada um está “influenciando” o campo F. Especificamente, temos:
  • ointC1 F cdot d r = 6, onde C1 é um círculo pequeno em torno de (-2,0).
  • ointC2 F cdot d r = 9, onde C2 é um círculo pequeno em torno de (2,0).

Passo 4

Agora, queremos calcular a circulação ao redor de C, que é um grande círculo x^2+y^2=16. Esse círculo envolve ambos os pontos removidos (-2,0) e (2,0). Por causa disso, a circulação total ao redor de C será a soma das circulações ao redor de C1 e C2. Isso ocorre porque, essencialmente, estamos capturando a contribuição de ambos os pontos no campo F.

Passo 5

Então, basta somar as circulações conhecidas:
ointC F cdot d r = ointC1 F cdot d r + ointC2 F cdot d r = 6 + 9 = 15

Resposta

15

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