Seja F=(P, Q)=(cos (x^2)+x^2 y^3-y2-x, x^3 y^2+ln (2-x)).
(b) Calcule integralC F cdot d r, C: r(t)=(12+12 cos t, 12 sen t), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Entendendo o Enunciado:
Estamos trabalhando com um campo vetorial P = cos(x^2) + x^2 y^3 - y2 - x, Q = x^3 y^2 + ln(2 - x) , onde:
integralC F cdot dr
Queremos calcular a integral de linha:
r(t) = (12 + 12 cos t, 12 sen t), 0 <= t <= 2pi
sobre a curva parametrizada por:
Conteúdo Envolvido:
  • Campos vetoriais
  • Integral de linha
  • Condição de conservatividade de um campo vetorial
  • Teorema de Green
Vamos precisar verificar se o campo é conservativo para simplificar o cálculo da integral.

Passo 2

Verificando se o Campo Vetorial é Conservativo:
Um campo vetorial F = nabla phi ou seja, P = partial phipartial x, Q = partial phipartial y é conservativo se existir uma função potencial partial Ppartial y = partial Qpartial x tal que:
Condição Necessária:
Para ser conservativo em uma região simplesmente conexa, as seguintes condições devem ser satisfeitas:

Passo 3

Calculando as Derivadas Parciais:
Vamos calcular P = cos(x^2) + x^2 y^3 - y2 - x e partial Ppartial y = 3x^2 y^2 - 12 - x :
Q = x^3 y^2 + ln(2 - x)
partial Qpartial x = 3x^2 y^2 - 12 - x

Passo 4

Comparando as Derivadas Parciais:
Observamos que:
partial Ppartial y = 3x^2 y^2 - 12 - x = partial Qpartial x
Como , a condição necessária para ser conservativo é satisfeita.

Passo 5

Conclusão sobre a Conservatividade:
Como satisfaz a condição e estamos considerando uma curva fechada em um domínio simplesmente conexo, podemos afirmar que é um campo vetorial conservativo.

Passo 6

Aplicando o Teorema Fundamental para Campos Gradientes:
Para campos vetoriais conservativos, a integral de linha sobre uma curva fechada é zero. Isso acontece porque a contribuição positiva e negativa das variações da função potencial se cancelam.
Matematicamente:
ointC F cdot dr = 0

Resposta

integralC F cdot dr = 0

Exercícios relacionados