Seja
.
(b) Calcule
.
(b) Calcule
Passo 1
Entendendo o Enunciado:
Estamos trabalhando com um campo vetorial
, onde:
Queremos calcular a integral de linha:
sobre a curva
parametrizada por:
Conteúdo Envolvido:
- Campos vetoriais
- Integral de linha
- Condição de conservatividade de um campo vetorial
- Teorema de Green
Vamos precisar verificar se o campo
é conservativo para simplificar o cálculo da integral.
Passo 2
Verificando se o Campo Vetorial é Conservativo:
Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função potencial
tal que:
Condição Necessária:
Para
ser conservativo em uma região simplesmente conexa, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
Passo 3
Calculando as Derivadas Parciais:
Vamos calcular
e
:
Passo 4
Comparando as Derivadas Parciais:
Observamos que:
Como
, a condição necessária para
ser conservativo é satisfeita.
Passo 5
Conclusão sobre a Conservatividade:
Como
satisfaz a condição
e estamos considerando uma curva fechada
em um domínio simplesmente conexo, podemos afirmar que
é um campo vetorial conservativo.
Passo 6
Aplicando o Teorema Fundamental para Campos Gradientes:
Para campos vetoriais conservativos, a integral de linha sobre uma curva fechada é zero. Isso acontece porque a contribuição positiva e negativa das variações da função potencial se cancelam.
Matematicamente:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a curva
, orientada de
a
.
Calcule
, onde
e
é a semicircunferência
, com
, orientada de
a
.
Calcule
, onde
e
é dada por (b)
.
Calcule
, onde
e
é a curva fechada formada pelas curvas
e
, percorrida no sentido anti-horário.