Seja .
(b) Calcule .

Passo 1

Entendendo o Enunciado:
Estamos trabalhando com um campo vetorial , onde:
Queremos calcular a integral de linha:
sobre a curva parametrizada por:
Conteúdo Envolvido:
  • Campos vetoriais
  • Integral de linha
  • Condição de conservatividade de um campo vetorial
  • Teorema de Green
Vamos precisar verificar se o campo é conservativo para simplificar o cálculo da integral.

Passo 2

Verificando se o Campo Vetorial é Conservativo:
Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial tal que:
Condição Necessária:
Para ser conservativo em uma região simplesmente conexa, as seguintes condições devem ser satisfeitas:

Passo 3

Calculando as Derivadas Parciais:
Vamos calcular e :

Passo 4

Comparando as Derivadas Parciais:
Observamos que:
Como , a condição necessária para ser conservativo é satisfeita.

Passo 5

Conclusão sobre a Conservatividade:
Como satisfaz a condição e estamos considerando uma curva fechada em um domínio simplesmente conexo, podemos afirmar que é um campo vetorial conservativo.

Passo 6

Aplicando o Teorema Fundamental para Campos Gradientes:
Para campos vetoriais conservativos, a integral de linha sobre uma curva fechada é zero. Isso acontece porque a contribuição positiva e negativa das variações da função potencial se cancelam.
Matematicamente:

Resposta

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