Calcule integralC F cdot d r, onde F=(P, Q)=(cos (x y^2)-x y^2 sen(x y^2),-2 x^2 y sen(x y^2)) e C é dada por (b) C: r(t)=(t+(t-1) ln (1+t^2),-cos (pi2 t)), 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é dado por e a curva é parametrizada por para entre 0 e 1. Vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular a integral de linha , precisamos parametrizar a curva usando uma variável, que no caso é . Isso significa que substituímos e em pelas funções que dependem de da parametrização .

Passo 3

Vamos identificar as componentes x(t) = t + (t - 1) ln(1 + t^2) e y(t) = -cos(pi2 t) da parametrização:
Essas serão usadas para substituir e na função .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas das componentes dxdt = ddt[t + (t - 1) ln(1 + t^2)] e dxdt = 1 + ln(1 + t^2) + (t - 1) cdot 2t1 + t^2 em relação a dydt = ddt[-cos(pi2 t)] = pi2 sin(pi2 t) para encontrar e , que são necessárias para :
Usando a regra do produto e a derivada do logaritmo:

Passo 5

Em seguida, substituímos F(t) = (cos(x(t) y(t)^2) - x(t) y(t)^2 sin(x(t) y(t)^2), -2 x(t)^2 y(t) sin(x(t) y(t)^2)) e na função :
Isso nos dá em termos de .

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar F(t) cdot drdt = [cos(x(t) y(t)^2) - x(t) y(t)^2 sin(x(t) y(t)^2)] cdot dxdt + [-2 x(t)^2 y(t) sin(x(t) y(t)^2)] cdot dydt :

Passo 7

Finalmente, integramos essa expressão de integral0^1 F(t) cdot drdt , dt a :
Essa integral pode ser resolvida numericamente ou, se simplificar, analiticamente. Para simplificar, vamos observar se é um campo conservativo.

Passo 8

Vamos verificar se P = cos(x y^2) - x y^2 sin(x y^2) é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial partial Ppartial y = -2x y sin(x y^2) - 2x y sin(x y^2) - x y^2 cdot 2x y cos(x y^2) tal que Q = -2 x^2 y sin(x y^2) . Para isso, verificamos se as derivadas parciais satisfazem partial Qpartial x = -4x y sin(x y^2) - 2x^3 y^3 cos(x y^2) :
Como , o campo é conservativo.

Passo 9

Se phi(x, y) = integral P , dx = integral [cos(x y^2) - x y^2 sin(x y^2)] dx = sin(x y^2)y^2 + C é conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final da curva. Vamos calcular tal que . Integrando em relação a :
Então, .

Passo 10

A integral de linha é então dada pela diferença dos potenciais nos pontos finais:
integralC F cdot dr = phi(x(1), y(1)) - phi(x(0), y(0))
Calculamos x(1) = 1 + (1 - 1) ln(1 + 1^2) = 1 e y(1) = -cos(pi2 cdot 1) = 0 :
x(0) = 0 + (-1) ln(1 + 0^2) = 0
y(0) = -cos(0) = -1
phi(1, 0) = sin(1 cdot 0^2)0^2 (indeterminado, mas limite quando y to 0: phi = 0)
phi(0, -1) = sin(0 cdot (-1)^2)(-1)^2 = 0
Substituindo na função potencial:
integralC F cdot dr = 0 - 0 = 0
Portanto:

Resposta

A integral de linha é igual a 0.

Exercícios relacionados