Calcule , onde e é dada por (b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é dado por e a curva é parametrizada por para entre 0 e 1. Vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular a integral de linha , precisamos parametrizar a curva usando uma variável, que no caso é . Isso significa que substituímos e em pelas funções que dependem de da parametrização .

Passo 3

Vamos identificar as componentes e da parametrização:
Essas serão usadas para substituir e na função .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas das componentes e em relação a para encontrar e , que são necessárias para :
Usando a regra do produto e a derivada do logaritmo:

Passo 5

Em seguida, substituímos e na função :
Isso nos dá em termos de .

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 7

Finalmente, integramos essa expressão de a :
Essa integral pode ser resolvida numericamente ou, se simplificar, analiticamente. Para simplificar, vamos observar se é um campo conservativo.

Passo 8

Vamos verificar se é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial tal que . Para isso, verificamos se as derivadas parciais satisfazem :
Como , o campo é conservativo.

Passo 9

Se é conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final da curva. Vamos calcular tal que . Integrando em relação a :
Então, .

Passo 10

A integral de linha é então dada pela diferença dos potenciais nos pontos finais:
Calculamos e :
Substituindo na função potencial:
Portanto:

Resposta

A integral de linha é igual a 0.

Exercícios relacionados

Seja .
(b) Calcule .
Calcule , onde é a curva , orientada de a .
Calcule , onde e é a curva fechada formada pelas curvas e , percorrida no sentido anti-horário.
Seja uma curva simétrica em relação ao eixo , que vai de a , como mostrada na figura ao lado. Sabendo-se que a área da região delimitada por e o eixo vale 16 , calcule o trabalho realizado pela força