Calcule
, onde
e
é dada por (b)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
é dado por
e a curva
é parametrizada por
para
entre 0 e 1. Vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular a integral de linha
, precisamos parametrizar a curva
usando uma variável, que no caso é
. Isso significa que substituímos
e
em
pelas funções que dependem de
da parametrização
.
Passo 3
Vamos identificar as componentes
e
da parametrização:
Essas serão usadas para substituir
e
na função
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas das componentes
e
em relação a
para encontrar
e
, que são necessárias para
:
Usando a regra do produto e a derivada do logaritmo:
Passo 5
Em seguida, substituímos
e
na função
:
Isso nos dá
em termos de
.
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Finalmente, integramos essa expressão de
a
:
Essa integral pode ser resolvida numericamente ou, se simplificar, analiticamente. Para simplificar, vamos observar se
é um campo conservativo.
Passo 8
Vamos verificar se
é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial
tal que
. Para isso, verificamos se as derivadas parciais satisfazem
:
Como
, o campo é conservativo.
Passo 9
Se
é conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final da curva. Vamos calcular
tal que
. Integrando
em relação a
:
Então,
.
Passo 10
A integral de linha é então dada pela diferença dos potenciais nos pontos finais:
Calculamos
e
:
Substituindo na função potencial:
Portanto:
Resposta
A integral de linha
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Seja
.
(b) Calcule .
(b) Calcule
Calcule
, onde
é a curva
, orientada de
a
.
Calcule
, onde
e
é a curva fechada formada pelas curvas
e
, percorrida no sentido anti-horário.
Seja
uma curva simétrica em relação ao eixo
, que vai de
a
, como mostrada na figura ao lado. Sabendo-se que a área da região delimitada por
e o eixo
vale 16 , calcule o trabalho realizado pela força