Calcule , onde e é a curva fechada formada pelas curvas e , percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral de linha , onde o campo vetorial é dado e é uma curva fechada composta por três partes: as retas , e a parábola , com variando de a . A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Esse teorema nos permite transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada por . A fórmula do Teorema de Green é:
Onde . Então, precisamos identificar e no nosso campo vetorial.

Passo 3

Vamos identificar e :
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para o Teorema de Green:
Primeiro, :
Simplificando:
Agora, :

Passo 5

Agora, calculamos a diferença :
Usando as expressões encontradas no passo anterior, ao simplificar, veremos que muitos termos se cancelam. Após a simplificação, teremos:

Passo 6

Com isso, a integral dupla fica muito mais simples:
Á
Então, a integral de linha é igual à área da região delimitada pela curva .

Passo 7

Agora, precisamos calcular a área da região . A curva é formada por duas retas e uma parábola:
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para definir melhor a região .

Passo 8

Encontrando as interseções:
Entre as duas retas:
Então, as retas se intersectam no ponto .
Entre as retas e a parábola:
Para e :
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, os pontos de interseção são:
  • Para :
  • Para :
Fazendo o mesmo para e :
Resolvendo:
Portanto, os pontos de interseção são:
  • Para :
  • Para :

Passo 9

Com esses pontos, observamos que a região é um polígono limitado pelas retas e pela parábola entre e . Para calcular a área, podemos dividir em partes mais simples ou integrar diretamente.
Vamos integrar com respeito a , de a , e para cada , varia entre as retas e a parábola:
  • Para : vai de até
  • Para : vai de até

Passo 10

Assim, a área de é:
Calculando as integrais internas:
Integrando:

Resposta

A integral de linha vale .

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Calcule , onde e é dada por (b) .
Seja .
(b) Calcule .
Seja uma curva simétrica em relação ao eixo , que vai de a , como mostrada na figura ao lado. Sabendo-se que a área da região delimitada por e o eixo vale 16 , calcule o trabalho realizado pela força
Seja .
(a) é conservativo? Por quê?