Calcule integralC F cdot d r, onde F(x, y)=(-yx^2+y^2-2 x+1, x-1x^2+y^2-2 x+1+x) e C é a curva fechada formada pelas curvas x+y+2=0, x-y+2=0 e x+y^2=4,-2 <= y <= 2, percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral de linha integralC F cdot d r, onde o campo vetorial F(x, y) é dado e C é uma curva fechada composta por três partes: as retas x+y+2=0, x-y+2=0 e a parábola x+y^2=4, com y variando de -2 a 2. A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva C.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Esse teorema nos permite transformar a integral de linha ointC F cdot dr em uma integral dupla sobre a região D delimitada por C. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
Onde F = (P, Q). Então, precisamos identificar P e Q no nosso campo vetorial.

Passo 3

Vamos identificar P e Q:
F(x, y) = ( -yx^2+y^2-2x+1, x-1x^2+y^2-2x+1 + x )
Portanto,
P = -yx^2+y^2-2x+1 e Q = x-1x^2+y^2-2x+1 + x

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para o Teorema de Green:
Primeiro, partial Qpartial x:
partial Qpartial x = partialpartial x ( x-1x^2+y^2-2x+1 ) + partialpartial x(x) = (1)(x^2+y^2-2x+1) - (x-1)(2x - 2)(x^2+y^2-2x+1)^2 + 1
Simplificando:
partial Qpartial x = (x^2+y^2-2x+1) - (x-1)(2x-2)(x^2+y^2-2x+1)^2 + 1
Agora, partial Ppartial y:
partial Ppartial y = partialpartial y ( -yx^2+y^2-2x+1 ) = - (x^2+y^2-2x+1) - (-y)(2y) (x^2+y^2-2x+1)^2 = - (x^2+y^2-2x+1) + 2y^2 (x^2+y^2-2x+1)^2

Passo 5

Agora, calculamos a diferença partial Qpartial x - partial Ppartial y:
Usando as expressões encontradas no passo anterior, ao simplificar, veremos que muitos termos se cancelam. Após a simplificação, teremos:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1

Passo 6

Com isso, a integral dupla fica muito mais simples:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy = integral duplaD 1 , dx , dy = Área de D Á
Então, a integral de linha é igual à área da região D delimitada pela curva C.

Passo 7

Agora, precisamos calcular a área da região D. A curva C é formada por duas retas e uma parábola:
  1. x + y + 2 = 0 Rightarrow x = -y - 2
  2. x - y + 2 = 0 Rightarrow x = y - 2
  3. x + y^2 = 4 Rightarrow x = 4 - y^2
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para definir melhor a região D.

Passo 8

Encontrando as interseções:
Entre as duas retas:
- y - 2 = y - 2 Rightarrow -2y = 0 Rightarrow y = 0 Rightarrow x = -2
Então, as retas se intersectam no ponto (-2, 0).
Entre as retas e a parábola:
Para x = -y - 2 e x = 4 - y^2:
- y - 2 = 4 - y^2 Rightarrow y^2 - y - 6 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
y = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52 Rightarrow y = 3 ou y = -2
Portanto, os pontos de interseção são:
  • Para y = 3: x = -3 - 2 = -5
  • Para y = -2: x = 2 - 2 = 0
Fazendo o mesmo para x = y - 2 e x = 4 - y^2:
y - 2 = 4 - y^2 Rightarrow y^2 + y - 6 = 0
Resolvendo:
y = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52 Rightarrow y = 2 ou y = -3
Portanto, os pontos de interseção são:
  • Para y = 2: x = 2 - 2 = 0
  • Para y = -3: x = -3 - 2 = -5

Passo 9

Com esses pontos, observamos que a região D é um polígono limitado pelas retas e pela parábola entre y = -2 e y = 2. Para calcular a área, podemos dividir D em partes mais simples ou integrar diretamente.
Vamos integrar com respeito a y, de y = -2 a y = 2, e para cada y, x varia entre as retas e a parábola:
  • Para -2 <= y <= 0: x vai de -y - 2 até 4 - y^2
  • Para 0 <= y <= 2: x vai de y - 2 até 4 - y^2

Passo 10

Assim, a área A de D é:
A = integral-2^0 integral-y - 2^4 - y^2 dx , dy + integral0^2 integraly - 2^4 - y^2 dx , dy
Calculando as integrais internas:
A = integral-2^0 (4 - y^2 - (-y - 2)) , dy + integral0^2 (4 - y^2 - (y - 2)) , dy = integral-2^0 (6 - y^2 + y) , dy + integral0^2 (6 - y^2 - y) , dy
Integrando:
A = [6y - y^33 + y^22 ]-2^0 + [6y - y^33 - y^22 ]0^2 = (0 - 0 + 0) - (-12 - -83 + 42) + (12 - 83 - 42) - (0 - 0 - 0) = 0 - (-12 + 83 + 2) + (12 - 83 - 2) - 0 = 12 - 83 - 2 + 12 - 83 - 2 = 20 - 163 = 603 - 163 = 443

Resposta

A integral de linha integralC F cdot d r vale 443.

Exercícios relacionados