Calcule
, onde
e
é a curva fechada formada pelas curvas
e
, percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral de linha
, onde o campo vetorial
é dado e
é uma curva fechada composta por três partes: as retas
,
e a parábola
, com
variando de
a
. A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Esse teorema nos permite transformar a integral de linha
em uma integral dupla sobre a região
delimitada por
. A fórmula do Teorema de Green é:
Onde
. Então, precisamos identificar
e
no nosso campo vetorial.
Passo 3
Vamos identificar
e
:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para o Teorema de Green:
Primeiro,
:
Simplificando:
Agora,
:
Passo 5
Agora, calculamos a diferença
:
Usando as expressões encontradas no passo anterior, ao simplificar, veremos que muitos termos se cancelam. Após a simplificação, teremos:
Passo 6
Com isso, a integral dupla fica muito mais simples:
Então, a integral de linha é igual à área da região
delimitada pela curva
.
Passo 7
Agora, precisamos calcular a área da região
. A curva
é formada por duas retas e uma parábola:
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para definir melhor a região
.
Passo 8
Encontrando as interseções:
Entre as duas retas:
Então, as retas se intersectam no ponto
.
Entre as retas e a parábola:
Para
e
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, os pontos de interseção são:
- Para
: - Para
:
Fazendo o mesmo para
e
:
Resolvendo:
Portanto, os pontos de interseção são:
- Para
: - Para
:
Passo 9
Com esses pontos, observamos que a região
é um polígono limitado pelas retas e pela parábola entre
e
. Para calcular a área, podemos dividir
em partes mais simples ou integrar diretamente.
Vamos integrar com respeito a
, de
a
, e para cada
,
varia entre as retas e a parábola:
- Para
: vai de até - Para
: vai de até
Passo 10
Assim, a área
de
é:
Calculando as integrais internas:
Integrando:
Resposta
A integral de linha
vale
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
é dada por (b)
.
Seja
.
(b) Calcule .
(b) Calcule
Seja
uma curva simétrica em relação ao eixo
, que vai de
a
, como mostrada na figura ao lado. Sabendo-se que a área da região delimitada por
e o eixo
vale 16 , calcule o trabalho realizado pela força
Seja
.
(a) é conservativo? Por quê?
(a)