Seja
uma curva simétrica em relação ao eixo
, que vai de
a
, como mostrada na figura ao lado. Sabendo-se que a área da região delimitada por
e o eixo
vale 16 , calcule o trabalho realizado pela força
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva
que é simétrica em relação ao eixo
e vai de
a
. A área delimitada por essa curva e o eixo
é 16. Queremos calcular o trabalho realizado pela força
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
delimitada por
de
. Ou seja:
Esse teorema vai nos ajudar a transformar a integral de linha, que pode ser complicada, em uma integral de área mais fácil de calcular.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial
:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região
. Sabemos que a área dessa região é 16, mas precisamos considerar a parte que envolve
.
Passo 5
Observando a integral
, sabemos que isso é simplesmente
.
Agora, para a integral
, notamos que a curva
é simétrica em relação ao eixo
. Isso significa que para cada ponto
em
, existe um ponto
também em
. Como a função
é ímpar em
(ou seja,
), a integral dessa função sobre uma região simétrica em
será zero.
Passo 6
Portanto, a integral total fica:
Resposta
O trabalho realizado pela força
é 32 unidades de trabalho.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
é a curva fechada formada pelas curvas
e
, percorrida no sentido anti-horário.
Calcule
, onde
e
é dada por (b)
.
Seja
.
(a) é conservativo? Por quê?
(a)
Seja
. Calcule a integral de linha do campo
ao longo de
e
, orientadas no sentido anti-horário, onde
(a) ;
(a)