Seja C uma curva simétrica em relação ao eixo y, que vai de 4,0 a (-4, 0), como mostrada na figura ao lado. Sabendo-se que a área da região delimitada por C e o eixo x vale 16 , calcule o trabalho realizado pela força F(x, y) = (x^2/4 + x * y^3) * i + (2 * x + arctan(y)) * j

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva que é simétrica em relação ao eixo e vai de a . A área delimitada por essa curva e o eixo é 16. Queremos calcular o trabalho realizado pela força . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região delimitada por de . Ou seja:
Esse teorema vai nos ajudar a transformar a integral de linha, que pode ser complicada, em uma integral de área mais fácil de calcular.

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo vetorial :
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região . Sabemos que a área dessa região é 16, mas precisamos considerar a parte que envolve .

Passo 5

Observando a integral , sabemos que isso é simplesmente Á.
Agora, para a integral , notamos que a curva é simétrica em relação ao eixo . Isso significa que para cada ponto em , existe um ponto também em . Como a função é ímpar em (ou seja, ), a integral dessa função sobre uma região simétrica em será zero.

Passo 6

Portanto, a integral total fica:

Resposta

O trabalho realizado pela força é 32 unidades de trabalho.

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