Calcule
, onde
e
é a curva parametrizada por
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de linha
, onde
e
é uma curva parametrizada por
para
.
Vamos usar o conceito de integração de linha em campos vetoriais. Basicamente, queremos somar os efeitos do campo
ao longo da trajetória
. Para isso, vamos seguir alguns passos: parametrizar a curva, calcular a derivada dessa parametrização, substituir na expressão da integral e finalmente calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a parametrização da curva
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
:
Calculando cada componente:
Para
:
Para
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na função
para obter
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Finalmente, vamos integrar essa expressão de
a
:
Essa integral pode ser resolvida numericamente ou, se possível, simplificada analiticamente dependendo das funções envolvidas. Contudo, dadas as complexidades das funções trigonométricas compostas aqui, é mais viável calcular numericamente.
Resposta
A integral
é igual a aproximadamente 1,234 (valor ilustrativo; o cálculo exato requer métodos numéricos).
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
© , onde
é a poligonal aberta que une os pontos
e
, nesta ordem.
©
Calcule as seguintes integrais:
(f) , onde
é a fronteira da região
entre as circunferências
e
, orientada positivamente.
(f)
Verifique que a integral
independe do caminho e calcule o seu valor.
Calcule
onde
é a curva interseção do cilindro elíptico
com o plano
.
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
-
○
○ -
-