Calcule integralC raiz13-2 x y d s onde C é a curva interseção do cilindro elíptico x^24+y^29=1 com o plano 9 x+4 y-6 z=0.
Escolha uma opção:
  • 13 pi
    18 pi
    24 pi
  • 26 pi
  • 36 pi

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para calcular a integral de linha integralC raiz13-2xy , ds, onde C é a curva de interseção entre o cilindro elíptico x^24+y^29=1 e o plano 9x + 4y - 6z = 0. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais em curvas no espaço, unindo geometria analítica e cálculo. Vamos precisar parametrizar a curva C para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. A curva é a interseção entre o cilindro x^24+y^29=1 e o plano 9x + 4y - 6z = 0. Vamos usar parâmetros trigonométricos para o cilindro.
Podemos escrever:
x = 2 cos theta
y = 3 sin theta
Essa parametrização satisfaz a equação do cilindro, já que:
(2cos theta)^24 + (3sin theta)^29 = cos^2 theta + sin^2 theta = 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a coordenada z em termos de theta usando a equação do plano 9x + 4y - 6z = 0. Substituindo x e y:
9(2 cos theta) + 4(3 sin theta) - 6z = 0
18 cos theta + 12 sin theta - 6z = 0
Resolvendo para z:
6z = 18 cos theta + 12 sin theta
z = 3 cos theta + 2 sin theta
Então, a parametrização completa da curva C é:
r(theta) = (2 cos theta, , 3 sin theta, , 3 cos theta + 2 sin theta)
com theta variando de 0 a 2pi.

Passo 4

Agora que temos a parametrização, vamos calcular ds, que é o elemento de comprimento ao longo da curva. Ele é dado por:
ds = |r'(theta)| , dtheta
Primeiro, calculamos a derivada de r(theta):
r'(theta) = (-2 sin theta, , 3 cos theta, , -3 sin theta + 2 cos theta)
A norma de r'(theta) é:
|r'(theta)| = raiz(-2 sin theta)^2 + (3 cos theta)^2 + (-3 sin theta + 2 cos theta)^2
Vamos simplificar isso:
|r'(theta)| = raiz4 sin^2 theta + 9 cos^2 theta + 9 sin^2 theta - 12 sin theta cos theta + 4 cos^2 theta
= raiz4 sin^2 theta + 9 cos^2 theta + 9 sin^2 theta + 4 cos^2 theta - 12 sin theta cos theta
= raiz13 sin^2 theta + 13 cos^2 theta - 12 sin theta cos theta
= raiz13(sin^2 theta + cos^2 theta) - 12 sin theta cos theta
Como sin^2 theta + cos^2 theta = 1, temos:
= raiz13 - 12 sin theta cos theta
Usando a identidade trigonométrica sin 2theta = 2 sin theta cos theta, podemos reescrever:
= raiz13 - 6 sin 2theta

Passo 5

Agora, vamos montar a integral original com a parametrização:
integralC raiz13 - 2xy , ds = integral0^2pi raiz13 - 2(2 cos theta)(3 sin theta) cdot raiz13 - 6 sin 2theta , dtheta
Simplificando o integrando:
raiz13 - 12 cos theta sin theta cdot raiz13 - 6 sin 2theta = raiz13 - 6 sin 2theta cdot raiz13 - 6 sin 2theta = 13 - 6 sin 2theta
Então, a integral fica:
integral0^2pi (13 - 6 sin 2theta) , dtheta

Passo 6

Vamos agora integrar termo a termo:
integral0^2pi 13 , dtheta = 13 theta g|0^2pi = 13(2pi) - 13(0) = 26pi
integral0^2pi -6 sin 2theta , dtheta = -6 ( -12 cos 2theta ) g|0^2pi = 3 (cos 2(2pi) - cos 0) = 3(1 - 1) = 0
Portanto, a integral total é:
26pi + 0 = 26pi

Resposta

26 pi

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