Calcule onde é a curva interseção do cilindro elíptico com o plano .
Escolha uma opção:
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para calcular a integral de linha , onde é a curva de interseção entre o cilindro elíptico e o plano . Isso envolve conceitos de cálculo de integrais em curvas no espaço, unindo geometria analítica e cálculo. Vamos precisar parametrizar a curva para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . A curva é a interseção entre o cilindro e o plano . Vamos usar parâmetros trigonométricos para o cilindro.
Podemos escrever:
Essa parametrização satisfaz a equação do cilindro, já que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a coordenada em termos de usando a equação do plano . Substituindo e :
Resolvendo para :
Então, a parametrização completa da curva é:
com variando de a .
Passo 4
Agora que temos a parametrização, vamos calcular , que é o elemento de comprimento ao longo da curva. Ele é dado por:
Primeiro, calculamos a derivada de :
A norma de é:
Vamos simplificar isso:
Como , temos:
Usando a identidade trigonométrica , podemos reescrever:
Passo 5
Agora, vamos montar a integral original com a parametrização: