Calcule onde é a curva interseção do cilindro elíptico com o plano .
Escolha uma opção:


Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para calcular a integral de linha , onde é a curva de interseção entre o cilindro elíptico e o plano . Isso envolve conceitos de cálculo de integrais em curvas no espaço, unindo geometria analítica e cálculo. Vamos precisar parametrizar a curva para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . A curva é a interseção entre o cilindro e o plano . Vamos usar parâmetros trigonométricos para o cilindro.
Podemos escrever:
Essa parametrização satisfaz a equação do cilindro, já que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a coordenada em termos de usando a equação do plano . Substituindo e :
Resolvendo para :
Então, a parametrização completa da curva é:
com variando de a .

Passo 4

Agora que temos a parametrização, vamos calcular , que é o elemento de comprimento ao longo da curva. Ele é dado por:
Primeiro, calculamos a derivada de :
A norma de é:
Vamos simplificar isso:
Como , temos:
Usando a identidade trigonométrica , podemos reescrever:

Passo 5

Agora, vamos montar a integral original com a parametrização:
Simplificando o integrando:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos agora integrar termo a termo:
Portanto, a integral total é:

Resposta

Exercícios relacionados

Verifique que a integral independe do caminho e calcule o seu valor.
Calcule , onde e é a curva parametrizada por , com .
Seja e considere a curva parametrizada . Então o valor da integral é:
Escolha uma opção:




O conjunto dos pontos interseção da curva com o cilindro está contido no plano de equação
Escolha uma opção: