Calcule
onde
é a curva interseção do cilindro elíptico
com o plano
.
Escolha uma opção:
-
○
○
-
-
Escolha uma opção:
○
○
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para calcular a integral de linha
, onde
é a curva de interseção entre o cilindro elíptico
e o plano
. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais em curvas no espaço, unindo geometria analítica e cálculo. Vamos precisar parametrizar a curva
para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. A curva é a interseção entre o cilindro
e o plano
. Vamos usar parâmetros trigonométricos para o cilindro.
Podemos escrever:
Essa parametrização satisfaz a equação do cilindro, já que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a coordenada
em termos de
usando a equação do plano
. Substituindo
e
:
Resolvendo para
:
Então, a parametrização completa da curva
é:
com
variando de
a
.
Passo 4
Agora que temos a parametrização, vamos calcular
, que é o elemento de comprimento ao longo da curva. Ele é dado por:
Primeiro, calculamos a derivada de
:
A norma de
é:
Vamos simplificar isso:
Como
, temos:
Usando a identidade trigonométrica
, podemos reescrever:
Passo 5
Agora, vamos montar a integral original com a parametrização:
Simplificando o integrando:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos agora integrar termo a termo:
Portanto, a integral total é: