Calcule as seguintes integrais:
(f) ointC(x y-y^33) d x+(x+x^33+y) d y, onde C é a fronteira da região D entre as circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9, orientada positivamente.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de linha , onde é a fronteira da região entre as circunferências e , orientada positivamente. A matéria envolvida aqui é o Cálculo de Integrais de Linha, mais especificamente utilizando o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região . Vamos precisar definir a função vetorial e calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial P(x, y) = x y - y^33 . Temos:
Q(x, y) = x + x^33 + y
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
O Teorema de Green nos diz que:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 3

Calculando partial Qpartial x = partialpartial x ( x + x^33 + y ) = 1 + x^2 :
partial Ppartial y = partialpartial y ( x y - y^33 ) = x - y^2
Calculando partial Qpartial x - partial Ppartial y = (1 + x^2) - (x - y^2) = 1 + x^2 - x + y^2 :
Agora, a diferença:

Passo 4

Agora, vamos expressar a integral dupla x = r costheta em coordenadas polares, já que a região y = r sintheta é entre dois círculos concêntricos dA = r , dr , dtheta e 1 + x^2 - x + y^2 = 1 + r^2 - r costheta .
Lembrando que em coordenadas polares:
integral duplaD (1 + r^2 - r costheta) , r , dr , dtheta
Substituindo na expressão:
Então, a integral dupla fica:

Passo 5

Definindo os limites de integração:
r: 1 a 3
theta: 0 a 2pi
Então, a integral se torna:
integral0^2pi integral1^3 (1 + r^2 - r costheta) , r , dr , dtheta
Simplificando o integrando:
(1 + r^2 - r costheta) cdot r = r + r^3 - r^2 costheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a integral1^3 r , dr = [12 r^2]1^3 = 92 - 12 = 4 primeiro:
integral1^3 r^3 , dr = [14 r^4]1^3 = 814 - 14 = 20
integral1^3 -r^2 costheta , dr = -costheta integral1^3 r^2 , dr = -costheta [13 r^3]1^3 = -costheta cdot 263
4 + 20 - 263 costheta = 24 - 263 costheta
Então, a integral em resulta em:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^2pi (24 - 263 costheta) dtheta :
24 integral0^2pi dtheta = 24 cdot 2pi = 48pi
Separando as integrais:
-263 integral0^2pi costheta , dtheta = -263 cdot 0 = 0
48pi
Portanto, a integral total é:

Resposta

O valor da integral é .

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