Calcule as seguintes integrais:
(f) , onde é a fronteira da região entre as circunferências e , orientada positivamente.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de linha , onde é a fronteira da região entre as circunferências e , orientada positivamente. A matéria envolvida aqui é o Cálculo de Integrais de Linha, mais especificamente utilizando o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região . Vamos precisar definir a função vetorial e calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial . Temos:
O Teorema de Green nos diz que:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 3

Calculando :
Calculando :
Agora, a diferença:

Passo 4

Agora, vamos expressar a integral dupla em coordenadas polares, já que a região é entre dois círculos concêntricos e .
Lembrando que em coordenadas polares:
Substituindo na expressão:
Então, a integral dupla fica:

Passo 5

Definindo os limites de integração:
Então, a integral se torna:
Simplificando o integrando:

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro:
Então, a integral em resulta em:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Separando as integrais:
Portanto, a integral total é:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
(b) , onde é formada por e .
Verifique o Teorema de Green, calculando as duas integrais do enunciado, para , onde é a região interior à elipse .
Calcule as seguintes integrais:
© , onde é a poligonal aberta que une os pontos e , nesta ordem.
Calcule , onde e é a curva parametrizada por , com .