Calcule as seguintes integrais:
(f)
, onde
é a fronteira da região
entre as circunferências
e
, orientada positivamente.
(f)
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral de linha
, onde
é a fronteira da região
entre as circunferências
e
, orientada positivamente. A matéria envolvida aqui é o Cálculo de Integrais de Linha, mais especificamente utilizando o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região
. Vamos precisar definir a função vetorial e calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial
. Temos:
O Teorema de Green nos diz que:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Agora, a diferença:
Passo 4
Agora, vamos expressar a integral dupla
em coordenadas polares, já que a região
é entre dois círculos concêntricos
e
.
Lembrando que em coordenadas polares:
Substituindo na expressão:
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Definindo os limites de integração:
Então, a integral se torna:
Simplificando o integrando:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então, a integral em
resulta em:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Separando as integrais:
Portanto, a integral total é:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
(b) , onde
é formada por
e
.
(b)
Verifique o Teorema de Green, calculando as duas integrais do enunciado, para
, onde
é a região interior à elipse
.
Calcule as seguintes integrais:
© , onde
é a poligonal aberta que une os pontos
e
, nesta ordem.
©
Calcule
, onde
e
é a curva parametrizada por
, com
.