Verifique que a integral independe do caminho e calcule o seu valor.

Passo 1

Vamos resolver a integral . Nosso objetivo é verificar se essa integral depende do caminho seguido entre os pontos e e, se não depender, calcular seu valor.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender se a integral é independente do caminho. Isso acontece quando o campo vetorial associado à integral é conservativo, ou seja, existe uma função potencial cuja derivada nos dá o campo vetorial.

Passo 3

Vamos identificar o campo vetorial associado à integral:
Aqui, e .

Passo 4

Para verificar se é conservativo, calculamos a derivada parcial cruzada:
Se essas duas derivadas forem iguais, o campo é conservativo.

Passo 5

Calculando :
Calculando :
Observamos que , então o campo é conservativo e a integral é independente do caminho.

Passo 6

Como o campo é conservativo, existe uma função potencial tal que:
Vamos encontrar .

Passo 7

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 8

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos, temos:
Como não depende de , concluímos que , então é constante.

Passo 9

Portanto, a função potencial é:
onde é uma constante.

Passo 10

Agora, para calcular a integral, usamos a diferença da função potencial nos pontos finais e :
Calculando:
A constante se cancela na subtração:

Resposta

O valor da integral é .

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Calcule , onde e é a curva parametrizada por , com .
Calcule as seguintes integrais:
© , onde é a poligonal aberta que une os pontos e , nesta ordem.
Calcule onde é a curva interseção do cilindro elíptico com o plano .
Escolha uma opção:


Seja e considere a curva parametrizada . Então o valor da integral é:
Escolha uma opção: