Verifique que a integral integral(1,1)^(3,3)(e^x ln y-e^yx) d x+(e^xy-e^y ln x) d y independe do caminho e calcule o seu valor.

Passo 1

Vamos resolver a integral . Nosso objetivo é verificar se essa integral depende do caminho seguido entre os pontos e e, se não depender, calcular seu valor.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender se a integral é independente do caminho. Isso acontece quando o campo vetorial associado à integral é conservativo, ou seja, existe uma função potencial cuja derivada nos dá o campo vetorial.

Passo 3

Vamos identificar o campo vetorial F(x, y) = ( e^x ln y - e^yx, e^xy - e^y ln x ) associado à integral:
Aqui, e .

Passo 4

Para verificar se partial Fxpartial y e partial Fypartial x é conservativo, calculamos a derivada parcial cruzada:
Se essas duas derivadas forem iguais, o campo é conservativo.

Passo 5

Calculando partialpartial y(e^x ln y - e^yx) = e^xy - e^yx :
partialpartial x(e^xy - e^y ln x) = e^xy - e^yx
Calculando :
Observamos que , então o campo é conservativo e a integral é independente do caminho.

Passo 6

Como o campo é conservativo, existe uma função potencial partial phipartial x = Fx e partial phipartial y = Fy tal que:
Vamos encontrar .

Passo 7

Integrando phi(x, y) = integral (e^x ln y - e^yx) dx = e^x ln y - e^yx + g(y) em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 8

Agora, derivamos partial phipartial y = e^xy - e^yx + g'(y) = e^xy - e^y ln x em relação a -e^yx + g'(y) = -e^y ln x e igualamos a :
Comparando os termos, temos:
Como não depende de , concluímos que , então é constante.

Passo 9

Portanto, a função potencial é:
phi(x, y) = e^x ln y - e^yx + C
onde é uma constante.

Passo 10

Agora, para calcular a integral, usamos a diferença da função potencial nos pontos finais integral(1,1)^(3,3) F cdot dr = phi(3, 3) - phi(1, 1) e phi(3, 3) = e^3 ln 3 - e^33 + C :
phi(1, 1) = e^1 ln 1 - e^11 + C = 0 - e + C
Calculando:
phi(3, 3) - phi(1, 1) = e^3 ln 3 - e^33 + e
A constante se cancela na subtração:

Resposta

O valor da integral é .

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