Verifique que a integral
independe do caminho e calcule o seu valor.
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Nosso objetivo é verificar se essa integral depende do caminho seguido entre os pontos
e
e, se não depender, calcular seu valor.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender se a integral é independente do caminho. Isso acontece quando o campo vetorial associado à integral é conservativo, ou seja, existe uma função potencial cuja derivada nos dá o campo vetorial.
Passo 3
Vamos identificar o campo vetorial
associado à integral:
Aqui,
e
.
Passo 4
Para verificar se
é conservativo, calculamos a derivada parcial cruzada:
Se essas duas derivadas forem iguais, o campo é conservativo.
Passo 5
Calculando
:
Calculando
:
Observamos que
, então o campo é conservativo e a integral é independente do caminho.
Passo 6
Como o campo é conservativo, existe uma função potencial
tal que:
Vamos encontrar
.
Passo 7
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos, temos:
Como
não depende de
, concluímos que
, então
é constante.
Passo 9
Portanto, a função potencial é:
onde
é uma constante.
Passo 10
Agora, para calcular a integral, usamos a diferença da função potencial nos pontos finais
e
:
Calculando:
A constante
se cancela na subtração:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
é a curva parametrizada por
, com
.
Calcule as seguintes integrais:
© , onde
é a poligonal aberta que une os pontos
e
, nesta ordem.
©
Calcule
onde
é a curva interseção do cilindro elíptico
com o plano
.
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
-
○
○ -
-
Seja
e considere
a curva parametrizada
. Então o valor da integral
é:
Escolha uma opção:
Escolha uma opção: