Calcule
, onde
e
é a interseção do cilindro
com o plano
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde
. A curva
é a interseção do cilindro
com o plano
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e o Teorema de Stokes, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela é a interseção entre o cilindro
e o plano
. Isso forma uma curva fechada no espaço. Para facilitar os cálculos, vamos interpretar essa curva como sendo parametrizada de forma circular no plano
constante.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial
ao redor de uma curva fechada
com a integral de superfície do rotacional de
sobre uma superfície
limitada por
. A fórmula é:
Onde
é o vetor normal à superfície
.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de
, ou seja,
. Para o campo
, temos:
Calculando cada termo:
-
Primeira componente:Então, a primeira componente é
. -
Segunda componente:Então, a segunda componente é
. -
Terceira componente:Então, a terceira componente é
.
Portanto,
Passo 5
Agora, precisamos escolher uma superfície
cujo bordo seja a curva
. Vamos escolher a superfície limitada pelo cilindro
no plano
. Para parametrizar essa superfície, podemos resolver a equação do plano para
:
Passo 6
Vamos calcular o vetor normal
à superfície
. Como a superfície está no plano
, podemos encontrar o vetor normal tomando os coeficientes das derivadas parciais. A equação do plano pode ser reescrita como:
Então, o vetor normal é:
Passo 7
Agora, aplicamos o Teorema de Stokes:
Calculando o produto escalar:
Portanto,
Passo 8
A área da superfície
é a área do círculo de raio
no plano. A área de um círculo é dada por
. Assim,
Passo 9
Substituindo na expressão anterior:
Simplificando:
Resposta
A integral de linha é igual a
.