Calcule integralC F cdot d r, onde F(x, y, z)=(z-x+sen x, z-x+cos y, x-y+e^z) e C é a interseção do cilindro x^2+y^2=a^2 com o plano xa+zb=1, a>0, b>0, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde F(x, y, z)=(z-x+sen x, z-x+cos y, x-y+e^z). A curva C é a interseção do cilindro x^2+y^2=a^2 com o plano xa+zb=1. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e o Teorema de Stokes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva C. Ela é a interseção entre o cilindro x^2+y^2=a^2 e o plano xa+zb=1. Isso forma uma curva fechada no espaço. Para facilitar os cálculos, vamos interpretar essa curva como sendo parametrizada de forma circular no plano y constante.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial F ao redor de uma curva fechada C com a integral de superfície do rotacional de F sobre uma superfície S limitada por C. A fórmula é:
integralC F cdot d r = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde n é o vetor normal à superfície S.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de F, ou seja, nabla times F. Para o campo F(x, y, z)=(z-x+sen x, z-x+cos y, x-y+e^z), temos:
nabla times F = ( partialpartial y(x - y + e^z) - partialpartial z(z - x + cos y), partialpartial z(z - x + sen x) - partialpartial x(x - y + e^z), partialpartial x(z - x + cos y) - partialpartial y(z - x + sen x) )
Calculando cada termo:
  • Primeira componente:
    partialpartial y(x - y + e^z) = -1
    partialpartial z(z - x + cos y) = 1
    Então, a primeira componente é -1 - 1 = -2.
  • Segunda componente:
    partialpartial z(z - x + sen x) = 1
    partialpartial x(x - y + e^z) = 1
    Então, a segunda componente é 1 - 1 = 0.
  • Terceira componente:
    partialpartial x(z - x + cos y) = -1
    partialpartial y(z - x + sen x) = 0
    Então, a terceira componente é -1 - 0 = -1.
Portanto,
nabla times F = (-2, 0, -1)

Passo 5

Agora, precisamos escolher uma superfície S cujo bordo seja a curva C. Vamos escolher a superfície limitada pelo cilindro x^2+y^2=a^2 no plano xa+zb=1. Para parametrizar essa superfície, podemos resolver a equação do plano para z:
z = b(1 - xa)

Passo 6

Vamos calcular o vetor normal n à superfície S. Como a superfície está no plano z = b(1 - xa), podemos encontrar o vetor normal tomando os coeficientes das derivadas parciais. A equação do plano pode ser reescrita como:
xa + 0 cdot y + zb = 1
Então, o vetor normal é:
n = (1a, 0, 1b)

Passo 7

Agora, aplicamos o Teorema de Stokes:
integralC F cdot d r = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS (-2, 0, -1) cdot (1a, 0, 1b) dS
Calculando o produto escalar:
(-2) cdot 1a + 0 cdot 0 + (-1) cdot 1b = -2a - 1b
Portanto,
integralC F cdot d r = (-2a - 1b) integral duplaS dS

Passo 8

A área da superfície S é a área do círculo de raio a no plano. A área de um círculo é dada por pi a^2. Assim,
integral duplaS dS = pi a^2

Passo 9

Substituindo na expressão anterior:
integralC F cdot d r = (-2a - 1b) pi a^2
Simplificando:
integralC F cdot d r = -2pi a - pi a^2b

Resposta

A integral de linha é igual a -2pi a - pi dfraca^2b.

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