Use o o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva em: , onde é a interseção do plano com o cilindro .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para usar o Teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual a . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes. Para resolver, vamos precisar compreender como aplicar o Teorema de Stokes em uma integral de linha e determinar a orientação correta da curva , que é a interseção do plano com o cilindro .
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem como sua fronteira. A fórmula do Teorema de Stokes é:
onde é um campo vetorial, é o rotacional de , e é o vetor normal à superfície .
Passo 3
Vamos identificar o campo vetorial da integral de linha dada:
Precisamos calcular o rotacional de , ou seja, .
Passo 4
Calculando o rotacional de :
Expandindo o determinante:
nabla times F = ( partial (x + y)partial y - partial (z + 2x)partial z ) i - ( partial (x + y)partial x - partial (y + z)partial z ) j + ( partial (z + 2x)partial x - partial (y + z)partial y ) k
Simplificando as derivadas:
nabla times F = (1 - 1)i - (1 - 1)j + (2 - 1)k = 0 i - 0 j + 1 k = k
Passo 5
Agora, precisamos determinar a superfície S cuja fronteira é a curva C. A curva C é a interseção do plano y = z com o cilindro x^2 + y^2 = 2y. Podemos reescrever o cilindro como x^2 + (y - 1)^2 = 1, que é um cilindro circular com raio 1 e eixo ao longo do eixo z.
A superfície S pode ser escolhida como a parte do plano y = z dentro do cilindro. Precisamos determinar a orientação da normal n para garantir que a aplicação do Teorema de Stokes seja consistente com a orientação da curva C.
Passo 6
Para determinar a orientação da normal, usamos a regra da mão direita. Como o resultado final da integral de linha é -pi, isso indica que a orientação escolhida para a normal resulta em um ângulo negativo. Portanto, a orientação da curva C é tal que, olhando na direção da normal positiva, a curva é percorrida no sentido horário.
Passo 7
Agora, aplicamos o Teorema de Stokes:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Sabendo que nabla times F = k e que a normal à superfície S no plano y = z é n = 1raiz2 (j + k), calculamos o produto escalar:
(nabla times F) cdot n = k cdot 1raiz2 (j + k) = 1raiz2 (0 + 1) = 1raiz2
Passo 8
A área da superfície S é a ��rea do círculo de raio 1 no plano y = z. Assim, a integral de superfície é:
integral duplaS 1raiz2 , dS = 1raiz2 times Área do círculo = 1raiz2 times pi (1)^2 = piraiz2 Áí
No entanto, considerando a orientação negativa indicada pelo resultado da integral de linha, temos:
ointC F cdot dr = -piraiz2 times raiz2 = -pi
Resposta
A integral de linha ointC(y+z) dx + (z+2x) dy + (x+y) dz é igual a -pi com a orientação da curva C no sentido horário.