Calcule , onde e é a interseção da superfície com , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é . A curva é a interseção das superfícies e , com orientação anti-horária vista de cima. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, principalmente o Teorema de Stokes, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a curva . Igualando as duas equações das superfícies:
Somando dos dois lados:
Então, é o círculo no plano com raio .
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a curva . Usando coordenadas polares:
Passo 4
Para facilitar o cálculo da integral de linha, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha com a integral de superfície da rotacional de :
Aqui, é a superfície limitada por , e é o vetor normal à superfície.
Passo 5
Vamos calcular a rotacional de :
Calculando as derivadas parciais:
nabla times F = ( -x z sin(x y z) - 2x ) i + ( 2y z + y z sin(x y z) ) j + ( 2z - z^2 ) k
Passo 6
Como estamos integrando sobre a superfície z = 5, o vetor normal n é k (para cima). Portanto, o produto escalar (nabla times F) cdot n simplifica para a componente k da rotacional:
(nabla times F) cdot n = 2z - z^2
Substituindo z = 5:
2 times 5 - 5^2 = 10 - 25 = -15
Passo 7
Agora, calculamos a integral de superfície:
integralS (nabla times F) cdot n , dS = integralS (-15) , dS = -15 times Área de S Á