Calcule integralC F cdot d r, onde F(x, y, z)=y z^2 i+2 x z j+cos (x y z) k e C é a interseção da superfície z=x^2+y^2 com z=10-x^2-y^2, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde o campo vetorial é F(x, y, z) = y z^2 i + 2 x z j + cos(x y z) k. A curva C é a interseção das superfícies z = x^2 + y^2 e z = 10 - x^2 - y^2, com orientação anti-horária vista de cima. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, principalmente o Teorema de Stokes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a curva C. Igualando as duas equações das superfícies:
x^2 + y^2 = 10 - x^2 - y^2
Somando x^2 + y^2 dos dois lados:
2(x^2 + y^2) = 10 Rightarrow x^2 + y^2 = 5
Então, C é o círculo no plano z = 5 com raio raiz5.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva C. Usando coordenadas polares:
x = raiz5 cos theta, y = raiz5 sin theta, z = 5 com theta in [0, 2pi]

Passo 4

Para facilitar o cálculo da integral de linha, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha com a integral de superfície da rotacional de F:
integralC F cdot dr = integralS (nabla times F) cdot n , dS
Aqui, S é a superfície limitada por C, e n é o vetor normal à superfície.

Passo 5

Vamos calcular a rotacional de F:
nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z y z^2 & 2 x z & cos(x y z)
Calculando as derivadas parciais:
nabla times F = ( -x z sin(x y z) - 2x ) i + ( 2y z + y z sin(x y z) ) j + ( 2z - z^2 ) k

Passo 6

Como estamos integrando sobre a superfície z = 5, o vetor normal n é k (para cima). Portanto, o produto escalar (nabla times F) cdot n simplifica para a componente k da rotacional:
(nabla times F) cdot n = 2z - z^2
Substituindo z = 5:
2 times 5 - 5^2 = 10 - 25 = -15

Passo 7

Agora, calculamos a integral de superfície:
integralS (nabla times F) cdot n , dS = integralS (-15) , dS = -15 times Área de S Á
A área de S é a área do círculo com raio raiz5:
Área = pi (raiz5)^2 = 5pi Á
Portanto:
-15 times 5pi = -75pi

Resposta

integralC F cdot d r = -75pi

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